哈尔滨工程大学 2013年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 2\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle 3 A^{8}-9 A^{7}+6 A^{6}+A^{5}-3 A^{4}+2 A^{3}+2 A+E=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算特征值
矩阵 $A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$ 的特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = (\lambda-1)(\lambda-2)$，特征值为 $\lambda_1=1$，$\lambda_2=2$。
公式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda-1)(\lambda-2)$
提示：注意上三角矩阵的特征值即对角线元素。
步骤 2/5
目标：利用Cayley-Hamilton定理降幂
由Cayley-Hamilton定理，$A$ 满足 $(A-I)(A-2I)=0$，即 $A^2-3A+2I=0$，所以 $A^2=3A-2I$。
公式：$A^2 = 3A - 2I$
提示：注意矩阵运算中常数乘以单位矩阵。
步骤 3/5
目标：递推计算A的高次幂
利用 $A^2=3A-2I$ 递推：
$A^3 = A \cdot A^2 = A(3A-2I) = 3A^2-2A = 3(3A-2I)-2A = 7A-6I$；
$A^4 = A \cdot A^3 = A(7A-6I) = 7A^2-6A = 7(3A-2I)-6A = 15A-14I$；
$A^5 = A \cdot A^4 = A(15A-14I) = 15A^2-14A = 15(3A-2I)-14A = 31A-30I$；
$A^6 = A \cdot A^5 = A(31A-30I) = 31A^2-30A = 31(3A-2I)-30A = 63A-62I$；
$A^7 = A \cdot A^6 = A(63A-62I) = 63A^2-62A = 63(3A-2I)-62A = 127A-126I$；
$A^8 = A \cdot A^7 = A(127A-126I) = 127A^2-126A = 127(3A-2I)-126A = 255A-254I$。
公式：$A^{k+2} = 3A^{k+1} - 2A^k$
提示：递推时注意系数计算，避免算术错误。
步骤 4/5
目标：代入多项式并合并同类项
设 $f(A)=3A^8-9A^7+6A^6+A^5-3A^4+2A^3+2A+I$，代入各幂次表达式：
$3A^8 = 3(255A-254I) = 765A-762I$；
$-9A^7 = -9(127A-126I) = -1143A+1134I$；
$6A^6 = 6(63A-62I) = 378A-372I$；
$A^5 = 31A-30I$；
$-3A^4 = -3(15A-14I) = -45A+42I$；
$2A^3 = 2(7A-6I) = 14A-12I$；
$2A = 2A$；
$I = I$。
合并 $A$ 的系数：$765-1143+378+31-45+14+2 = 2$；合并 $I$ 的系数：$-762+1134-372-30+42-12+1 = 1$。所以 $f(A)=2A+I$。
提示：合并系数时仔细计算，避免加减错误。
步骤 5/5
目标：计算最终矩阵
将 $A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$ 代入 $2A+I$：
$2A+I = 2\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 0 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 6 \\ 0 & 4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 6 \\ 0 & 5\end{pmatrix}$。
提示：矩阵加法对应元素相加。
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