哈尔滨工程大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
三、设 $A$ 为 $n$ 阶方阵（ $\displaystyle n>1$ ），求证：
（1）若 $\displaystyle r(A)=1$ ，则存在 $n$ 行 1 列矩阵 $B$ 和 1 行 $n$ 列矩阵 $C$ ，使 $\displaystyle A=B C$ ；
（2）若 $\displaystyle r(A)=1$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=1$ ，则 $\displaystyle A^{n}=A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用秩1矩阵的性质进行分解
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵且 $r(A)=1$，则 $A$ 的列空间是一维的，因此存在非零列向量 $\alpha \in \mathbb{R}^n$ 使得 $A$ 的每一列都是 $\alpha$ 的倍数。于是存在行向量 $\beta^T \in \mathbb{R}^{1 \times n}$ 使得 $A = \alpha \beta^T$。令 $B = \alpha$（$n \times 1$ 矩阵），$C = \beta^T$（$1 \times n$ 矩阵），则 $A = BC$。
公式：$A = \alpha \beta^T$
提示：注意 $\alpha$ 是列向量，$\beta^T$ 是行向量，乘积是 $n \times n$ 矩阵。
步骤 2/5
目标：写出分解形式并验证
由 $r(A)=1$，存在非零列向量 $B$ 和行向量 $C$ 使得 $A = BC$。这里 $B$ 是 $n \times 1$ 矩阵，$C$ 是 $1 \times n$ 矩阵。
公式：$A = BC$
提示：分解不唯一，但存在性成立。
步骤 3/5
目标：利用迹条件得到标量
计算迹：$\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(BC)$。由于迹的性质 $\operatorname{tr}(BC) = \operatorname{tr}(CB)$，且 $CB$ 是 $1 \times 1$ 矩阵，即一个数，所以 $\operatorname{tr}(A) = CB$。由条件 $\operatorname{tr}(A)=1$，得 $CB = 1$。
公式：$\operatorname{tr}(BC) = \operatorname{tr}(CB)$
提示：注意 $CB$ 是标量，而 $BC$ 是矩阵，迹相等。
步骤 4/5
目标：计算 $A^2$ 并化简
计算 $A^2 = (BC)(BC) = B(CB)C$。由于 $CB=1$，所以 $A^2 = B \cdot 1 \cdot C = BC = A$。
公式：$A^2 = B(CB)C = BC = A$
提示：矩阵乘法结合律，注意 $CB$ 是标量，可以提到前面。
步骤 5/5
目标：用归纳法证明 $A^n = A$
当 $n=1$ 时，$A^1 = A$ 成立。假设 $A^k = A$ 成立，则 $A^{k+1} = A^k A = A A = A^2 = A$。由数学归纳法，对任意正整数 $n$，$A^n = A$。
公式：$A^{k+1} = A^k A = A A = A$
提示：归纳步骤中用到 $A^2 = A$。
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