哈尔滨工程大学 2014年高等代数第1题
📝 题目
1．当 $\displaystyle a, b$ 满足 $\displaystyle \_\_\_\_$时，多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+4 a x=b$ 有重根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解重根条件
多项式 $f(x)$ 有重根的充要条件是 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 有公因式，即存在非常数多项式 $g(x)$ 使得 $g(x) \mid f(x)$ 且 $g(x) \mid f'(x)$。
提示：注意重根包括复数根，且重根次数至少为2。
步骤 2/6
目标：求导并提取公因子
计算 $f(x)=x^4+4ax-b$ 的导数：$f'(x)=4x^3+4a=4(x^3+a)$。由于常数因子不影响公因式，可考虑 $f'(x)$ 与 $x^3+a$ 等价。
公式：$f'(x)=4x^3+4a=4(x^3+a)$
提示：导数计算要准确，注意常数项导数为0。
步骤 3/6
目标：多项式除法求余式
用 $f(x)$ 除以 $f'(x)$（或 $x^3+a$）求余式。由于 $f(x)$ 是4次，$f'(x)$ 是3次，做除法：$f(x) = \frac{x}{4} \cdot 4(x^3+a) + (-ax - b)$，所以余式 $r(x) = -ax - b$。
公式：$f(x) = \frac{x}{4} \cdot f'(x) + (-ax - b)$
提示：多项式除法要小心系数，确保余式次数低于除式。
步骤 4/6
目标：转化为低次多项式公因式问题
$f(x)$ 与 $f'(x)$ 有公因式当且仅当 $f'(x)$ 与 $r(x)$ 有公因式。因为 $r(x)$ 是一次式，公因式只能是 $r(x)$ 的因式，即 $r(x)=0$ 的根。
提示：注意余式次数为1，因此公因式只能是线性因式。
步骤 5/6
目标：分情况讨论a是否为0
若 $a \neq 0$，则 $r(x) = -ax - b$ 的根为 $x = -b/a$。代入 $f'(x)=0$ 得 $4\left(-\frac{b}{a}\right)^3 + 4a = 0$，化简得 $-\frac{4b^3}{a^3} + 4a = 0$，即 $a^4 = b^3$。若 $a=0$，则 $f'(x)=4x^3$，$r(x)=-b$。此时 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 有公因式当且仅当 $b=0$，即 $a=b=0$，也满足 $a^4=b^3$。
公式：$4\left(-\frac{b}{a}\right)^3 + 4a = 0 \Rightarrow a^4 = b^3$
提示：不要遗漏a=0的情况，需单独讨论。
步骤 6/6
目标：总结充要条件
综合两种情况，$f(x)=x^4+4ax-b$ 有重根的充要条件是 $a^4 = b^3$。
公式：$a^4 = b^3$
提示：最终条件需包含a=b=0的情形。
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