哈尔滨工程大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
七、设 $n$ 阶实对称阵 $A$ 的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 满足 $\displaystyle 1<\lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n} \leq 2$ ，求证：对任意零实向量 $X$ ，总有 $\displaystyle X^{T} X<X^{T} A X<2 X^{T} X$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用实对称矩阵的正交对角化
由于 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。
公式：$Q^T A Q = \Lambda$
提示：确保 $Q$ 是正交矩阵，即 $Q^T Q = I$。
步骤 2/5
目标：变量替换将二次型标准化
对任意非零实向量 $X$，令 $Y = Q^T X$。由于 $Q$ 可逆，$Y \neq 0$。计算 $X^T X$ 和 $X^T A X$：
$X^T X = (QY)^T (QY) = Y^T Q^T Q Y = Y^T Y$，
$X^T A X = (QY)^T A (QY) = Y^T (Q^T A Q) Y = Y^T \Lambda Y = \sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2$。
公式：$X^T X = Y^T Y$, $X^T A X = \sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2$
提示：注意 $Y$ 是非零向量，因为 $X$ 非零且 $Q$ 可逆。
步骤 3/5
目标：应用特征值范围进行不等式放缩
由已知条件 $1 < \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_n \leq 2$，对每个 $i$ 有 $1 < \lambda_i \leq 2$。因此，对于 $Y$ 的每个分量 $y_i$，有 $y_i^2 < \lambda_i y_i^2 < 2 y_i^2$（注意 $y_i$ 可能为零，此时不等式取等号，但整体求和时严格不等）。
公式：$1 < \lambda_i \leq 2$
提示：注意 $\lambda_1 > 1$ 是严格大于，因此 $\lambda_i > 1$ 对所有 $i$ 成立。
步骤 4/5
目标：求和得到整体不等式
对所有 $i$ 求和：
$\sum_{i=1}^n y_i^2 < \sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2 < \sum_{i=1}^n 2 y_i^2 = 2 \sum_{i=1}^n y_i^2$。
即 $Y^T Y < Y^T \Lambda Y < 2 Y^T Y$。
公式：$\sum y_i^2 < \sum \lambda_i y_i^2 < 2 \sum y_i^2$
提示：由于 $Y \neq 0$，至少有一个 $y_i \neq 0$，因此第一个严格不等式成立。
步骤 5/5
目标：代回原变量得到结论
将 $Y^T Y = X^T X$ 和 $Y^T \Lambda Y = X^T A X$ 代入，得到 $X^T X < X^T A X < 2 X^T X$。
公式：$X^T X < X^T A X < 2 X^T X$
提示：注意题目要求对任意非零实向量 $X$ 成立，这里 $X$ 是任意非零向量。
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