哈尔滨工程大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
二、设 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的三维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 的一个线性变换，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 的一组基， $\displaystyle \mathcal{A}\left(\alpha_{1}\right)=2 \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}, \mathcal{A}\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+\alpha_{3}, \mathcal{A}\left(\alpha_{3}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+2 \alpha_{3}$
（1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵；
（2）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的特征值，特征向量；
（3）求 的一组基，使 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为对角阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求线性变换在给定基下的矩阵
由定义，线性变换 $\mathcal{A}$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的矩阵 $A$ 满足 $\mathcal{A}(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) A$。已知 $\mathcal{A}(\alpha_1)=2\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$，$\mathcal{A}(\alpha_2)=\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3$，$\mathcal{A}(\alpha_3)=\alpha_1+\alpha_2+2\alpha_3$，因此矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：$\mathcal{A}(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) A$
提示：注意矩阵的列对应基像的坐标，不要混淆行和列。
步骤 2/6
目标：计算特征多项式
特征多项式为 $|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda-2 & -1 \\ -1 & -1 & \lambda-2 \end{vmatrix}$。将第2、3列加到第1列，得 $\begin{vmatrix} \lambda-4 & -1 & -1 \\ \lambda-4 & \lambda-2 & -1 \\ \lambda-4 & -1 & \lambda-2 \end{vmatrix} = (\lambda-4) \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & \lambda-2 & -1 \\ 1 & -1 & \lambda-2 \end{vmatrix}$。再将第1行乘以-1加到第2、3行，得 $(\lambda-4) \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-4)(\lambda-1)^2$。
公式：$|\lambda I - A| = (\lambda-4)(\lambda-1)^2$
提示：行列式化简时注意提取公因子，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：求特征值
令特征多项式等于零：$(\lambda-4)(\lambda-1)^2 = 0$，解得特征值 $\lambda_1 = 4$（单根），$\lambda_2 = 1$（二重根）。
提示：注意特征值的重数，后续求特征向量时需考虑。
步骤 4/6
目标：求特征值4的特征向量
解齐次线性方程组 $(4I - A)x = 0$，即 $\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$。系数矩阵的秩为2，基础解系含1个向量。解得 $x_1 = x_2 = x_3$，取 $\xi_1 = (1,1,1)^T$。属于特征值4的全部特征向量为 $k \xi_1$，$k \neq 0$。
公式：$(4I - A)x = 0$
提示：解线性方程组时注意化简，避免遗漏自由变量。
步骤 5/6
目标：求特征值1的特征向量
解齐次线性方程组 $(I - A)x = 0$，即 $\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$，等价于 $x_1 + x_2 + x_3 = 0$。基础解系可取 $\xi_2 = (1,-1,0)^T$，$\xi_3 = (1,0,-1)^T$。属于特征值1的全部特征向量为 $k_1 \xi_2 + k_2 \xi_3$，其中 $k_1, k_2$ 不全为零。
公式：$(I - A)x = 0$
提示：注意基础解系不唯一，但必须线性无关。
步骤 6/6
目标：求对角化所需的基
取特征向量作为新基：$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$（对应特征值4），$\beta_2 = \alpha_1 - \alpha_2$（对应特征值1），$\beta_3 = \alpha_1 - \alpha_3$（对应特征值1）。则 $\mathcal{A}$ 在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的矩阵为对角阵 $\operatorname{diag}(4,1,1)$。
提示：确保所选基向量线性无关，且每个基向量都是特征向量。
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