哈尔滨工程大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
五、设有向量组 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1,1,2), \quad \alpha_{2}=(3, a+4,2 a+5, a+7), \quad \alpha_{3}=(4,6,8,10)$ ， $\displaystyle \alpha_{4}=(2,3,2 a+3,5)$ ，当 $\displaystyle a, b$ 如何取值时，$\displaystyle \beta=(0,1,3, b)$ 不能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表示？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立线性表示与方程组的关系
向量 $\beta$ 能否由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性表示，等价于线性方程组 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 + x_4\alpha_4 = \beta$ 是否有解。将向量按列排成矩阵，构造增广矩阵。
提示：注意向量是行向量，但构造矩阵时按列放置。
步骤 2/7
目标：构造增广矩阵
增广矩阵为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 2 & 0 \\
1 & a+4 & 6 & 3 & 1 \\
1 & 2a+5 & 8 & 2a+3 & 3 \\
2 & a+7 & 10 & 5 & b
\end{pmatrix}
$$
提示：确保每个向量对应一列，最后一列为 $\beta$。
步骤 3/7
目标：初等行变换（第一步）
进行行变换：$R_2 - R_1$, $R_3 - R_1$, $R_4 - 2R_1$，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 2 & 0 \\
0 & a+1 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 2a+2 & 4 & 2a+1 & 3 \\
0 & a+1 & 2 & 1 & b
\end{pmatrix}
$$
提示：注意 $R_4 - 2R_1$ 时，最后一列 $b-2\times0=b$。
步骤 4/7
目标：初等行变换（第二步）
进行行变换：$R_3 - 2R_2$, $R_4 - R_2$，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 2 & 0 \\
0 & a+1 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2a-1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & b-1
\end{pmatrix}
$$
提示：注意 $R_3 - 2R_2$ 时，第三行第四列：$(2a+1)-2\times1 = 2a-1$；$R_4 - R_2$ 时，第四行最后一列：$b-1$。
步骤 5/7
目标：分析无解条件（b的影响）
由阶梯形矩阵，当 $b-1 \neq 0$ 即 $b \neq 1$ 时，系数矩阵的秩为3，增广矩阵的秩为4，方程组无解，$\beta$ 不能由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性表示。
提示：注意系数矩阵的秩等于非零行数，这里第三行非零（$2a-1$ 可能为0），但第四行全零时秩为3。
步骤 6/7
目标：分析b=1时的情况
当 $b=1$ 时，增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，方程组有解。但需进一步考虑 $a$ 的取值：
- 若 $a+1 \neq 0$ 且 $2a-1 \neq 0$，即 $a \neq -1$ 且 $a \neq \frac{1}{2}$，则系数矩阵的秩为3，增广矩阵的秩也为3，方程组有唯一解，$\beta$ 可由它们线性表示。
- 若 $a+1=0$ 即 $a=-1$，则第二行全为零，此时系数矩阵的秩为2（第三行 $2a-1=-3 \neq 0$），增广矩阵的秩为3（第三行非零，第四行为0），方程组无解，$\beta$ 不能由它们线性表示。
- 若 $2a-1=0$ 即 $a=\frac{1}{2}$，则第三行全为零，此时系数矩阵的秩为2（第二行非零），增广矩阵的秩为2（第四行为0），方程组有解，$\beta$ 可由它们线性表示。
提示：注意当某行全为零时，该行对应的方程是恒等式，不影响秩。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上所述，$\beta$ 不能由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性表示当且仅当 $b \neq 1$ 或 $a=-1$ 且 $b=1$。
提示：注意 $a=-1$ 且 $b=1$ 时，虽然 $b=1$，但 $a=-1$ 导致无解。
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