哈尔滨工程大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
八、求证：在 $n$ 维欧式空间中，两两夹角成钝角的元素不多于 $\displaystyle n+1$ 个．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定条件和反证假设
设 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 中的非零向量，且两两夹角为钝角，即对任意 $i \neq j$，有 $(\alpha_i, \alpha_j) < 0$。假设 $m \geq n+2$，则考虑前 $n+1$ 个向量 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n+1}$。
提示：注意反证假设是 $m \geq n+2$，但只需考虑 $n+1$ 个向量即可推出矛盾。
步骤 2/5
目标：利用线性相关得到线性组合为零
由于 $V$ 是 $n$ 维，$n+1$ 个向量必线性相关，故存在不全为零的实数 $k_1, k_2, \dots, k_{n+1}$ 使得 $\sum_{i=1}^{n+1} k_i \alpha_i = 0$。
公式：线性相关定义：存在不全为零的系数使线性组合为零向量。
提示：注意系数不全为零，但可能有正有负。
步骤 3/5
目标：分离正负系数并构造向量β
将系数为正的项与系数为负的项分开。令 $I = \{i \mid k_i > 0\}$，$J = \{j \mid k_j < 0\}$，则 $\sum_{i \in I} k_i \alpha_i = \sum_{j \in J} (-k_j) \alpha_j$。记 $\beta = \sum_{i \in I} k_i \alpha_i$，则 $\beta \neq 0$（否则所有 $k_i=0$）。
提示：注意 $\beta$ 非零是因为若 $\beta=0$，则所有 $k_i=0$，与系数不全为零矛盾。
步骤 4/5
目标：计算β的内积并利用钝角条件
计算内积 $(\beta, \beta)$：
$$(\beta, \beta) = \left( \sum_{i \in I} k_i \alpha_i, \sum_{j \in J} (-k_j) \alpha_j \right) = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} k_i (-k_j) (\alpha_i, \alpha_j).$$
由于 $i \neq j$ 时 $(\alpha_i, \alpha_j) < 0$，且 $k_i > 0$，$-k_j > 0$，故每一项 $k_i (-k_j) (\alpha_i, \alpha_j) < 0$，从而 $(\beta, \beta) < 0$。
公式：内积的双线性性：$(\sum a_i \alpha_i, \sum b_j \alpha_j) = \sum_i \sum_j a_i b_j (\alpha_i, \alpha_j)$
提示：注意 $i$ 和 $j$ 分别来自不同集合，因此 $i \neq j$ 恒成立，保证每项内积为负。
步骤 5/5
目标：导出矛盾并得出结论
但内积 $(\beta, \beta)$ 是向量 $\beta$ 的模长平方，应满足 $(\beta, \beta) \geq 0$，且 $\beta \neq 0$ 时 $(\beta, \beta) > 0$。这与 $(\beta, \beta) < 0$ 矛盾。因此假设 $m \geq n+2$ 不成立，故 $m \leq n+1$。
公式：内积的正定性：$(\alpha, \alpha) \geq 0$，且等号成立当且仅当 $\alpha=0$。
提示：注意 $\beta \neq 0$ 时内积应为正，但这里得到负值，矛盾。
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