哈尔滨工程大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
六、设 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 是 的子空间．
（1）判断命题＂若 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}=\{0\}, ~ V_{2} \cap V_{3}=\{0\}, ~ V_{3} \cap V_{1}=\{0\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}+V_{2}+V_{3}$ 为直和＂是否正确，若正确给出证明，若不正确举出反例；
（2）判断命题＂若 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}=\{0\}, V_{3} \cap\left(V_{1}+V_{2}\right)=\{0\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}+V_{2}+V_{3}$ 为直和＂是否正确，若正确给出证明，若不正确举出反例．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解直和的定义
多个子空间的和 $V_1+V_2+\cdots+V_k$ 是直和当且仅当零向量的表示唯一，即若 $v_1+v_2+\cdots+v_k=0$，其中 $v_i\in V_i$，则必有 $v_1=v_2=\cdots=v_k=0$。
提示：注意直和的条件是零向量表示唯一，而不是任意向量表示唯一。
步骤 2/6
目标：分析命题（1）的条件
命题（1）的条件是：$V_1\cap V_2=\{0\}$，$V_2\cap V_3=\{0\}$，$V_3\cap V_1=\{0\}$。即任意两个子空间的交只有零向量。
提示：两两交为零是直和的必要条件，但不是充分条件。
步骤 3/6
目标：构造反例证明命题（1）不正确
在 $\mathbb{R}^2$ 中，取 $V_1=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}$，$V_2=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}$，$V_3=\{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}$。则 $V_1\cap V_2=\{0\}$，$V_2\cap V_3=\{0\}$，$V_3\cap V_1=\{0\}$。但 $V_1+V_2+V_3=\mathbb{R}^2$，且 $(1,0)+(0,1)+(-1,-1)=(0,0)$，其中 $(1,0)\in V_1$，$(0,1)\in V_2$，$(-1,-1)\in V_3$ 均非零，故和不是直和。
提示：注意反例中三个向量非零但和为零，说明零向量表示不唯一。
步骤 4/6
目标：分析命题（2）的条件
命题（2）的条件是：$V_1\cap V_2=\{0\}$ 且 $V_3\cap (V_1+V_2)=\{0\}$。即前两个子空间交为零，且第三个子空间与前两个的和的交为零。
提示：注意第二个条件涉及子空间的和，不是单个子空间。
步骤 5/6
目标：证明命题（2）正确
设 $v_1\in V_1$，$v_2\in V_2$，$v_3\in V_3$ 满足 $v_1+v_2+v_3=0$。则 $v_1+v_2=-v_3\in V_3\cap (V_1+V_2)=\{0\}$，故 $v_1+v_2=0$ 且 $v_3=0$。由 $v_1+v_2=0$ 得 $v_1=-v_2\in V_1\cap V_2=\{0\}$，故 $v_1=v_2=0$。因此零向量表示唯一，$V_1+V_2+V_3$ 是直和。
提示：关键步骤：利用 $v_1+v_2$ 属于 $V_1+V_2$ 且等于 $-v_3$ 属于 $V_3$，从而推出 $v_1+v_2=0$ 和 $v_3=0$。
步骤 6/6
目标：总结两个命题的结论
命题（1）不正确，因为两两交为零不足以保证直和；命题（2）正确，因为条件更强，等价于直和的定义。
提示：注意直和的判定条件：多个子空间的和是直和当且仅当每个子空间与其余子空间的和的交为零。
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