哈尔滨工程大学 2014年高等代数第2题
📝 题目
2．$n$ 阶行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccccc}5 & 3 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 5 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & 5\end{array}\right|$ 的值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立递推关系
设 $n$ 阶行列式为 $D_n$。按第一行展开，第一行元素为 $5, 3, 0, \dots, 0$。展开后得到：$D_n = 5 \cdot D_{n-1} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 5 & 3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 5 \end{vmatrix}_{(n-1)}$。再对第二个行列式按第一列展开，得到 $2 \cdot D_{n-2}$。因此 $D_n = 5D_{n-1} - 6D_{n-2}$。
公式：按第一行展开行列式
提示：注意符号：$(-1)^{1+2} = -1$，所以第二项为 $-3$ 乘以子式，子式再展开时注意系数。
步骤 2/6
目标：计算初始值
计算 $D_1$ 和 $D_2$：$D_1 = 5$；$D_2 = \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 5 \times 5 - 3 \times 2 = 25 - 6 = 19$。
公式：二阶行列式公式 $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
提示：注意 $D_2$ 的计算不要出错。
步骤 3/6
目标：求解特征方程
递推关系 $D_n = 5D_{n-1} - 6D_{n-2}$ 对应的特征方程为 $r^2 - 5r + 6 = 0$，解得 $r_1 = 2$，$r_2 = 3$。
公式：特征方程 $r^2 - 5r + 6 = 0$
提示：特征方程由递推关系直接得到，注意系数符号。
步骤 4/6
目标：写出通解形式
由于特征根互异，通解形式为 $D_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$，其中 $A, B$ 为待定常数。
公式：齐次线性递推通解形式
提示：注意指数是 $n$，不是 $n-1$。
步骤 5/6
目标：代入初始条件求系数
代入 $n=1$ 和 $n=2$：
$$
\begin{cases}
2A + 3B = 5 \\
4A + 9B = 19
\end{cases}
$$
解方程组：第一式乘以2得 $4A+6B=10$，减去第二式得 $-3B = -9$，所以 $B=3$，代入得 $2A+9=5$，$A=-2$。
公式：解二元一次方程组
提示：注意代入 $n=1$ 时 $2^1=2$，$3^1=3$；$n=2$ 时 $2^2=4$，$3^2=9$。
步骤 6/6
目标：得出最终表达式
将 $A=-2$，$B=3$ 代入通解：$D_n = -2 \cdot 2^n + 3 \cdot 3^n = 3^{n+1} - 2^{n+1}$。
公式：指数运算 $3 \cdot 3^n = 3^{n+1}$，$-2 \cdot 2^n = -2^{n+1}$
提示：注意合并指数，结果写成 $3^{n+1} - 2^{n+1}$ 形式。
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