哈尔滨工程大学 2014年高等代数第4题
📝 题目
4．已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的秩为3，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{5}$ 的秩为4，则向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{5}-\alpha_{4}$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析已知条件
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的秩为3，说明 $\alpha_4$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，即存在唯一的一组数 $k_1, k_2, k_3$ 使得 $\alpha_4 = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3$。
提示：注意秩为3意味着向量组线性相关，且极大无关组为前三个向量。
步骤 2/7
目标：分析第二个条件
向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5$ 的秩为4，说明 $\alpha_5$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，即 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5$ 线性无关。
提示：秩为4意味着向量组线性无关。
步骤 3/7
目标：表示目标向量
考虑向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5 - \alpha_4$。由于 $\alpha_4$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，则 $\alpha_5 - \alpha_4 = \alpha_5 - (k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3)$。
提示：将 $\alpha_4$ 的线性表示代入。
步骤 4/7
目标：建立线性关系式
假设存在一组数 $x_1, x_2, x_3, x_4$ 使得 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 + x_4(\alpha_5 - \alpha_4) = 0$。代入 $\alpha_4$ 的表达式得：$x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 + x_4\alpha_5 - x_4(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3) = 0$。
提示：注意展开时符号。
步骤 5/7
目标：整理合并同类项
整理得：$(x_1 - x_4k_1)\alpha_1 + (x_2 - x_4k_2)\alpha_2 + (x_3 - x_4k_3)\alpha_3 + x_4\alpha_5 = 0$。
提示：合并 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的系数。
步骤 6/7
目标：利用线性无关性
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5$ 线性无关，所以系数全为零：
\[
\begin{cases}
x_1 - x_4k_1 = 0 \\
x_2 - x_4k_2 = 0 \\
x_3 - x_4k_3 = 0 \\
x_4 = 0
\end{cases}
\]
提示：线性无关意味着零向量只有零系数表示。
步骤 7/7
目标：求解系数
由 $x_4=0$ 得 $x_1=x_2=x_3=0$，因此只有零解，故 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5-\alpha_4$ 线性无关，秩为4。
提示：注意 $x_4=0$ 代入前三个方程即得 $x_1=x_2=x_3=0$。
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