哈尔滨工程大学 2014年高等代数第5题
📝 题目
5．已知向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性无关，$\displaystyle \alpha_{1}=2 \alpha_{2}-\alpha_{3}, \beta=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}$ ， $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ ，则方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析向量组的线性关系
已知 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关，且 $\alpha_1 = 2\alpha_2 - \alpha_3$，因此 $\alpha_1$ 可由 $\alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，故向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的秩为3，且 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关。
提示：注意：线性无关的向量组中，任意向量不能由其余向量线性表示。
步骤 2/6
目标：将方程组转化为线性组合形式
方程组 $AX = \beta$ 即 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 + x_4\alpha_4 = \beta$。代入 $\alpha_1 = 2\alpha_2 - \alpha_3$ 和 $\beta = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4$，得：
$$x_1(2\alpha_2 - \alpha_3) + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 + x_4\alpha_4 = (2\alpha_2 - \alpha_3) + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4$$
提示：代入时要小心符号，避免错误。
步骤 3/6
目标：合并同类项并利用线性无关性
合并左边：$(2x_1 + x_2)\alpha_2 + (-x_1 + x_3)\alpha_3 + x_4\alpha_4$，右边：$3\alpha_2 + 0\alpha_3 + \alpha_4$。由于 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关，对应系数相等，得到方程组：
$$\begin{cases} 2x_1 + x_2 = 3 \\ -x_1 + x_3 = 0 \\ x_4 = 1 \end{cases}$$
公式：线性无关向量组系数唯一性
提示：线性无关意味着系数必须对应相等，这是关键步骤。
步骤 4/6
目标：求解非齐次方程组的特解
由方程组得 $x_3 = x_1$，$x_2 = 3 - 2x_1$，$x_4 = 1$，其中 $x_1$ 为自由变量。取 $x_1 = 0$，得特解 $\eta^* = (0, 3, 0, 1)^T$。
提示：自由变量可以任意取值，通常取简单值如0。
步骤 5/6
目标：求解齐次方程组的基础解系
齐次方程 $AX = 0$ 对应 $2x_1 + x_2 = 0$，$-x_1 + x_3 = 0$，$x_4 = 0$，即 $x_2 = -2x_1$，$x_3 = x_1$，$x_4 = 0$。取 $x_1 = 1$，得基础解系 $\xi = (1, -2, 1, 0)^T$。
提示：基础解系中自由变量通常取1或0，确保线性无关。
步骤 6/6
目标：写出通解
非齐次线性方程组的通解为特解加上齐次通解：$X = \eta^* + k\xi$，$k \in \mathbb{R}$，即
$$X = \begin{pmatrix}0\\3\\0\\1\end{pmatrix} + k\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}.$$
公式：非齐次线性方程组通解结构：特解+齐次通解
提示：通解中参数k是任意实数，不要遗漏。
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