哈尔滨工程大学 2014年高等代数第6题
📝 题目
6．线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中，基（I ）：$\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{3}\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) \quad A\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ \overline{1} & 1\end{array}\right) \quad$ 到基 （II）：$\displaystyle B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right) \quad B_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right) \quad B_{3}\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ \overline{1} & 0\end{array}\right) \quad B_{4}^{\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ \overline{0} & 1\end{array}\right) \quad \text { 的过渡矩阵为 }}$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定基(I)和基(II)的矩阵表示
基(I)由矩阵 $A_1, A_2, A_3, A_4$ 组成，其中 $A_4 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$（题目中 $A_4$ 有误，应为 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$）。基(II)由矩阵 $B_1, B_2, B_3, B_4$ 组成，其中 $B_4 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$（题目中 $B_4$ 有误，应为 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$）。
提示：注意题目中矩阵的书写可能不规范，需根据上下文纠正。
步骤 2/8
目标：将矩阵按标准基展开为列向量
标准基为 $E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $E_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。将每个矩阵按 $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 顺序展开为列向量：
$A_1 \rightarrow (1,0,0,0)^T$,
$A_2 \rightarrow (1,1,0,0)^T$,
$A_3 \rightarrow (1,1,1,0)^T$,
$A_4 \rightarrow (1,1,1,1)^T$;
$B_1 \rightarrow (1,0,1,1)^T$,
$B_2 \rightarrow (0,1,1,1)^T$,
$B_3 \rightarrow (1,1,1,0)^T$,
$B_4 \rightarrow (1,1,0,1)^T$。
提示：展开顺序要一致，否则会导致错误。
步骤 3/8
目标：建立过渡矩阵方程
设过渡矩阵 $P = (p_{ij})$，满足 $(B_1, B_2, B_3, B_4) = (A_1, A_2, A_3, A_4) P$。即每个 $B_j$ 可表示为 $A_i$ 的线性组合：$B_j = \sum_{i=1}^4 p_{ij} A_i$。
公式：$B_j = \sum_{i=1}^4 p_{ij} A_i$
提示：注意过渡矩阵的定义：从基(I)到基(II)的过渡矩阵 $P$ 满足基(II) = 基(I) $P$。
步骤 4/8
目标：求解第一列（对应 $B_1$）
由 $B_1 = p_{11}A_1 + p_{21}A_2 + p_{31}A_3 + p_{41}A_4$，代入列向量得方程组：
$\begin{cases} 1 = p_{11} + p_{21} + p_{31} + p_{41} \\ 0 = p_{21} + p_{31} + p_{41} \\ 1 = p_{31} + p_{41} \\ 1 = p_{41} \end{cases}$
解得 $p_{41}=1$, $p_{31}=0$, $p_{21}=-1$, $p_{11}=1$。第一列为 $(1,-1,0,1)^T$。
提示：解方程组时注意从最后一个方程开始逐步回代。
步骤 5/8
目标：求解第二列（对应 $B_2$）
由 $B_2 = p_{12}A_1 + p_{22}A_2 + p_{32}A_3 + p_{42}A_4$，代入列向量得方程组：
$\begin{cases} 0 = p_{12} + p_{22} + p_{32} + p_{42} \\ 1 = p_{22} + p_{32} + p_{42} \\ 1 = p_{32} + p_{42} \\ 1 = p_{42} \end{cases}$
解得 $p_{42}=1$, $p_{32}=0$, $p_{22}=0$, $p_{12}=-1$。第二列为 $(-1,0,0,1)^T$。
提示：注意与第一列的区别，避免混淆。
步骤 6/8
目标：求解第三列（对应 $B_3$）
由 $B_3 = p_{13}A_1 + p_{23}A_2 + p_{33}A_3 + p_{43}A_4$，代入列向量得方程组：
$\begin{cases} 1 = p_{13} + p_{23} + p_{33} + p_{43} \\ 1 = p_{23} + p_{33} + p_{43} \\ 1 = p_{33} + p_{43} \\ 0 = p_{43} \end{cases}$
解得 $p_{43}=0$, $p_{33}=1$, $p_{23}=0$, $p_{13}=0$。第三列为 $(0,0,1,0)^T$。
提示：注意 $B_3$ 与 $A_3$ 相同，因此系数简单。
步骤 7/8
目标：求解第四列（对应 $B_4$）
由 $B_4 = p_{14}A_1 + p_{24}A_2 + p_{34}A_3 + p_{44}A_4$，代入列向量得方程组：
$\begin{cases} 1 = p_{14} + p_{24} + p_{34} + p_{44} \\ 1 = p_{24} + p_{34} + p_{44} \\ 0 = p_{34} + p_{44} \\ 1 = p_{44} \end{cases}$
解得 $p_{44}=1$, $p_{34}=-1$, $p_{24}=1$, $p_{14}=0$。第四列为 $(0,1,-1,1)^T$。
提示：注意 $p_{34}$ 为负值，计算时小心符号。
步骤 8/8
目标：写出过渡矩阵
将各列按顺序排列得到过渡矩阵 $P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：最终结果需检查是否满足 $B_j = \sum p_{ij} A_i$。
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