哈尔滨工程大学 2014年高等代数第7题
📝 题目
7．当 $a$ 满足 $\displaystyle \_\_\_\_$时，实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}$ 正定．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型的矩阵
实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2a x_1x_2$ 对应的矩阵为对称矩阵 $A$，其中 $a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。由于 $x_1x_2$ 系数为 $2a$，故 $a_{12}=a_{21}=a$，而 $x_1x_3$ 和 $x_2x_3$ 系数为0，因此 $A=\begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：二次型矩阵元素：$a_{ii}$ 为平方项系数，$a_{ij}=\frac{1}{2}$(交叉项系数)
提示：注意交叉项系数要除以2，但本题中交叉项系数为 $2a$，所以 $a_{12}=a$。
步骤 2/6
目标：回顾正定二次型的判别条件
实二次型正定的充要条件是：其矩阵的各阶顺序主子式均大于0。即对于 $n$ 阶矩阵 $A$，要求 $\Delta_1>0, \Delta_2>0, \ldots, \Delta_n>0$，其中 $\Delta_k$ 为 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式。
公式：正定条件：$\Delta_k>0$ 对所有 $k=1,\ldots,n$
提示：顺序主子式是从左上角开始取 $k$ 行 $k$ 列构成的行列式，不是任意主子式。
步骤 3/6
目标：计算一阶顺序主子式
一阶顺序主子式 $\Delta_1$ 是矩阵 $A$ 的左上角 $1\times1$ 子式，即 $a_{11}=1$。显然 $\Delta_1=1>0$，恒成立。
公式：$\Delta_1 = a_{11} = 1$
提示：一阶主子式总是正数，无需额外条件。
步骤 4/6
目标：计算二阶顺序主子式并解不等式
二阶顺序主子式 $\Delta_2$ 是 $A$ 的前两行前两列构成的行列式：$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & a \\ a & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot1 - a\cdot a = 1 - a^2$。要求 $\Delta_2 > 0$，即 $1 - a^2 > 0$，解得 $-1 < a < 1$。
公式：$\Delta_2 = 1 - a^2 > 0 \Rightarrow |a| < 1$
提示：注意解不等式时不要遗漏负号，$1-a^2>0$ 等价于 $a^2<1$，即 $-1
步骤 5/6
目标：计算三阶顺序主子式并解不等式
三阶顺序主子式 $\Delta_3$ 即矩阵 $A$ 的行列式：$\Delta_3 = \det A = \begin{vmatrix} 1 & a & 0 \\ a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$。按第三行展开（或利用分块矩阵），得 $\Delta_3 = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ a & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 - a^2) = 1 - a^2$。要求 $\Delta_3 > 0$，即 $1 - a^2 > 0$，同样得 $-1 < a < 1$。
公式：$\Delta_3 = 1 - a^2 > 0 \Rightarrow |a| < 1$
提示：三阶行列式计算时，注意利用零元素简化计算，避免出错。
步骤 6/6
目标：综合条件得出参数范围
由一阶、二阶、三阶顺序主子式均大于0的条件，得到 $\Delta_1=1>0$ 恒成立，$\Delta_2>0$ 和 $\Delta_3>0$ 均要求 $-1
公式：正定条件：$a \in (-1, 1)$
提示：注意区间是开区间，端点处 $a=\pm1$ 时，二阶主子式为0，二次型半正定而非正定。
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