哈尔滨工程大学 2014年高等代数第8题
📝 题目
8．矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$ 的若尔当标准形为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求特征值
矩阵 $A$ 是上三角矩阵，特征值即对角线元素：$\lambda_1 = 1$（单重），$\lambda_2 = 4$（二重）。
提示：上三角矩阵的特征值就是对角线元素，不要进行其他计算。
步骤 2/5
目标：求特征值1的特征向量
解 $(A - I)x = 0$：
$$A - I = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
得特征向量 $\xi_1 = (1,0,0)^T$。几何重数为1，代数重数为1，对应1阶若尔当块。
提示：行简化时注意第三行除以3后，第二行减去第三行，得到简化形式。
步骤 3/5
目标：求特征值4的特征向量
解 $(A - 4I)x = 0$：
$$A - 4I = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -2/3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
得特征向量 $\xi_2 = (2,3,0)^T$。几何重数为1，代数重数为2，因此需要2阶若尔当块。
提示：注意特征向量不唯一，取最简单的整数形式。
步骤 4/5
目标：求广义特征向量
解 $(A - 4I)v = \xi_2$：
$$\begin{pmatrix} -3 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$$
得 $x_3 = 3/5$，$-3x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2$。取 $x_2 = 0$，则 $x_1 = -1/15$，即 $v = (-1/15, 0, 3/5)^T$。为简化，乘以15得 $v = (-1, 0, 9)^T$。
提示：广义特征向量不唯一，但必须满足 $(A-4I)v$ 是特征向量。
步骤 5/5
目标：构造若尔当标准形
对于 $\lambda=1$，1阶若尔当块 $J_1(1)$；对于 $\lambda=4$，2阶若尔当块 $J_2(4)$。因此若尔当标准形为：
$$J = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$
提示：若尔当块的对角线为特征值，次对角线为1，其余为0。
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