哈尔滨工程大学 2015年高等代数第10题
📝 题目
10．设 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，$\displaystyle r(A)=n$ ，则 $n$ 元二次型 $\displaystyle X^{T}\left(A^{T} A\right) X$ 正定性为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析矩阵性质
已知 $A$ 是 $m \times n$ 实矩阵，且 $r(A)=n$，即矩阵 $A$ 列满秩。$A^T A$ 是 $n \times n$ 实对称矩阵，因为 $(A^T A)^T = A^T A$。
提示：注意 $A^T A$ 的对称性，这是二次型矩阵的标准形式。
步骤 2/7
目标：写出二次型表达式
二次型为 $X^T (A^T A) X$，其中 $X \in \mathbb{R}^n$ 是列向量。
公式：f(X) = X^T (A^T A) X
提示：确保 $X$ 是列向量，否则维度不匹配。
步骤 3/7
目标：化简二次型
利用矩阵乘法结合律，有 $X^T (A^T A) X = (X^T A^T)(A X) = (A X)^T (A X)$。
公式：X^T (A^T A) X = (AX)^T (AX)
提示：注意转置运算：$(AB)^T = B^T A^T$。
步骤 4/7
目标：转化为向量内积
令 $Y = A X \in \mathbb{R}^m$，则 $(AX)^T (AX) = Y^T Y = \|Y\|^2 = \sum_{i=1}^m y_i^2 \geq 0$。
公式：\|AX\|^2 = \sum_{i=1}^m (AX)_i^2
提示：内积非负，当且仅当 $Y=0$ 时取等。
步骤 5/7
目标：讨论正定性条件
对于任意非零 $X$，要证明 $X^T (A^T A) X > 0$。由上式知，$X^T (A^T A) X = \|AX\|^2$，故只需证明 $AX \neq 0$ 当 $X \neq 0$。
提示：正定性要求对所有非零 $X$，二次型大于零。
步骤 6/7
目标：利用秩条件证明
因为 $r(A)=n$，所以齐次线性方程组 $AX=0$ 只有零解（$n$ 个未知数，$n$ 个独立方程）。因此，若 $X \neq 0$，则 $AX \neq 0$，从而 $\|AX\|^2 > 0$。
公式：AX=0 \Rightarrow X=0
提示：列满秩保证 $A$ 的列向量线性无关，从而 $AX=0$ 只有零解。
步骤 7/7
目标：得出结论
综上，对任意非零 $X \in \mathbb{R}^n$，有 $X^T (A^T A) X > 0$，故二次型 $X^T (A^T A) X$ 正定。
提示：正定二次型的矩阵 $A^T A$ 是正定矩阵。
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