哈尔滨工程大学 2015年高等代数第7题
📝 题目
7．设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变化， $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathcal{A}=0$ ，则 $\displaystyle \mathcal{A}$ $\displaystyle \_\_\_\_$线性变化．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解已知条件
已知 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\operatorname{Ker} \mathcal{A} = \{0\}$，即零空间只包含零向量。
提示：注意 $\operatorname{Ker} \mathcal{A}=0$ 表示核空间只有零向量，不是空集。
步骤 2/6
目标：推导单射性
由 $\operatorname{Ker} \mathcal{A}=0$ 可知，若 $\mathcal{A}(\alpha)=0$，则 $\alpha=0$。因此 $\mathcal{A}$ 是单射。
公式：线性变换单射的充要条件：$\operatorname{Ker} \mathcal{A}=\{0\}$
提示：单射的定义：不同向量的像不同。
步骤 3/6
目标：应用维数公式
对于有限维线性空间上的线性变换，有维数公式：$\dim V = \dim \operatorname{Ker} \mathcal{A} + \dim \operatorname{Im} \mathcal{A}$。代入 $\dim \operatorname{Ker} \mathcal{A}=0$，得 $\dim \operatorname{Im} \mathcal{A} = n$。
公式：$\dim V = \dim \operatorname{Ker} \mathcal{A} + \dim \operatorname{Im} \mathcal{A}$
提示：维数公式适用于有限维线性空间，注意 $\operatorname{Im} \mathcal{A}$ 是像空间。
步骤 4/6
目标：推导满射性
由于 $\operatorname{Im} \mathcal{A}$ 是 $V$ 的子空间，且 $\dim \operatorname{Im} \mathcal{A}=n = \dim V$，因此 $\operatorname{Im} \mathcal{A}=V$，即 $\mathcal{A}$ 是满射。
公式：若 $U$ 是 $V$ 的子空间且 $\dim U = \dim V$，则 $U=V$
提示：注意有限维空间中，子空间维数等于全空间维数时，子空间等于全空间。
步骤 5/6
目标：得出双射结论
由前两步知 $\mathcal{A}$ 既是单射又是满射，因此 $\mathcal{A}$ 是双射。
提示：双射即一一对应。
步骤 6/6
目标：推出可逆性
在有限维线性空间中，双射线性变换等价于可逆线性变换。因此 $\mathcal{A}$ 是可逆线性变换。
提示：可逆线性变换存在逆变换，且逆变换也是线性变换。
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