哈尔滨工程大学 2015年高等代数第6题

已知 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $AB=0$。这意味着矩阵 $A$ 与 $B$ 的乘积为零矩阵。

设 $r(B)=r$，则齐次线性方程组 $Bx=0$ 的解空间维数为 $n-r$。这是因为对于 $n$ 阶方阵 $B$，其秩为 $r$，则基础解系所含向量个数为 $n-r$。

由于 $AB=0$，将 $A$ 按列分块为 $A=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$，则 $AB=0$ 意味着 $B^T \alpha_i = 0$ 对每个 $i$ 成立？实际上，$AB=0$ 等价于 $A$ 的每一列都是 $Bx=0$ 的解。因为 $AB$ 的第 $j$ 列是 $A$ 乘以 $B$ 的第 $j$ 列，但更直接地，$AB=0$ 意味着对任意列向量 $x$，$A(Bx)=0$，特别地，取 $x$ 为单位向量，可得 $A$ 的列乘以 $B$ 的对应行？正确推导：设 $B$ 的列向量为 $\beta_1,\dots,\beta_n$，则 $AB$ 的第 $j$ 列为 $A\beta_j$，所以 $AB=0$ 推出 $A\beta_j=0$ 对所有 $j$，即 $B$ 的每一列都是 $Ax=0$ 的解。但我们需要的是 $A$ 的列是 $Bx=0$ 的解。另一种方式：$AB=0$ 等价于 $B^TA^T=0$，则 $A^T$ 的列是 $B^Tx=0$ 的解，即 $A$ 的行是 $Bx=0$ 的解？实际上，考虑转置：$(AB)^T = B^T A^T = 0$，所以 $A^T$ 的列是 $B^T y=0$ 的解，即 $A$ 的行是 $y^T B=0$ 的解。但更直接：对任意 $x$，$B(Ax)=0$？不，$AB=0$ 意味着 $A(Bx)=0$ 对所有 $x$ 成立，所以 $Bx$ 属于 $A$ 的零空间，但我们需要 $A$ 的列属于 $B$ 的零空间。正确方法：将 $A$ 按列分块，$A=(a_1,\dots,a_n)$，则 $AB = A(b_1,\dots,b_n) = (Ab_1,\dots,Ab_n)=0$，所以 $Ab_j=0$，即 $b_j$ 属于 $A$ 的零空间。这给出 $B$ 的列属于 $A$ 的零空间。但我们需要 $A$ 的列属于 $B$ 的零空间，所以考虑转置：$B^T A^T = 0$，则 $A^T$ 的列属于 $B^T$ 的零空间，即 $A$ 的行属于 $B$ 的左零空间？实际上，$B^T A^T = 0$ 意味着 $A^T$ 的每一列是 $B^T x=0$ 的解，即 $A$ 的每一行是 $x^T B=0$ 的解。这并不直接给出 $A$ 的列。因此，更简单的思路：由 $AB=0$，对任意 $x$，$A(Bx)=0$，所以 $Bx$ 属于 $A$ 的零空间，即 $\text{Im}(B) \subseteq \text{Ker}(A)$。从而 $r(B) = \dim \text{Im}(B) \leq \dim \text{Ker}(A) = n - r(A)$，即 $r(A)+r(B) \leq n$。这是标准证法。

由 $\text{Im}(B) \subseteq \text{Ker}(A)$，得 $\dim \text{Im}(B) \leq \dim \text{Ker}(A)$。而 $\dim \text{Im}(B) = r(B)$，$\dim \text{Ker}(A) = n - r(A)$。因此 $r(B) \leq n - r(A)$，即 $r(A) + r(B) \leq n$。

因此，$r(A)+r(B) \leq n$。题目中空白处应填 $n$。