哈尔滨工程大学 2015年高等代数第5题
📝 题目
5．向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5} \in \mathbb{R}^{5}$ 线性无关，则向量组 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \alpha_{3}+\alpha_{4}, \alpha_{4}+\alpha_{5}$ ， $\displaystyle \alpha_{5}+\alpha_{1}$ 的线性相关性是 $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义新向量组
设 $\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2$, $\beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3$, $\beta_3 = \alpha_3 + \alpha_4$, $\beta_4 = \alpha_4 + \alpha_5$, $\beta_5 = \alpha_5 + \alpha_1$。我们需要判断 $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4, \beta_5$ 的线性相关性。
提示：注意新向量组与原向量组的关系，每个新向量都是两个原向量的和。
步骤 2/6
目标：写出线性组合并整理
考虑线性组合 $k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 + k_4\beta_4 + k_5\beta_5 = 0$，即 $$k_1(\alpha_1+\alpha_2) + k_2(\alpha_2+\alpha_3) + k_3(\alpha_3+\alpha_4) + k_4(\alpha_4+\alpha_5) + k_5(\alpha_5+\alpha_1) = 0.$$ 整理得 $$(k_1+k_5)\alpha_1 + (k_1+k_2)\alpha_2 + (k_2+k_3)\alpha_3 + (k_3+k_4)\alpha_4 + (k_4+k_5)\alpha_5 = 0.$$
提示：合并同类项时注意每个 $\alpha_i$ 的系数来自哪些 $\beta_j$。
步骤 3/6
目标：利用线性无关性得到齐次方程组
由于 $\alpha_1,\dots,\alpha_5$ 线性无关，所以系数全为零：\begin{cases} k_1 + k_5 = 0, \\ k_1 + k_2 = 0, \\ k_2 + k_3 = 0, \\ k_3 + k_4 = 0, \\ k_4 + k_5 = 0. \end{cases}
公式：线性无关的定义：若 $c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n=0$ 则所有 $c_i=0$。
提示：不要遗漏任何一个方程，每个 $\alpha_i$ 的系数对应一个方程。
步骤 4/6
目标：解方程组（消元）
由第一式得 $k_5 = -k_1$；由第二式得 $k_2 = -k_1$；由第三式得 $k_3 = -k_2 = k_1$；由第四式得 $k_4 = -k_3 = -k_1$；代入第五式：$k_4 + k_5 = -k_1 - k_1 = -2k_1 = 0$，解得 $k_1 = 0$。
提示：注意符号变化，逐步代入避免错误。
步骤 5/6
目标：得出所有系数为零
由 $k_1=0$ 依次得 $k_2=0$, $k_3=0$, $k_4=0$, $k_5=0$。因此方程组只有零解。
提示：确保所有系数都为零，不要遗漏。
步骤 6/6
目标：判断线性相关性
因为线性组合为零仅当所有系数为零，所以向量组 $\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4,\beta_5$ 线性无关。
公式：线性无关的定义：若 $k_1\beta_1+\cdots+k_n\beta_n=0$ 则所有 $k_i=0$。
提示：注意与线性相关的定义区分。
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