哈尔滨工程大学 2015年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A$ 可逆，则 $\displaystyle A B$ 与 $\displaystyle B A$ 的关系是 $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件
已知 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶方阵，且 $A$ 可逆，即存在 $A^{-1}$ 使得 $AA^{-1}=A^{-1}A=I$，其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
提示：注意可逆矩阵的定义：存在逆矩阵。
步骤 2/6
目标：构造相似关系
考虑矩阵 $AB$，将其左乘 $A^{-1}$ 并右乘 $A$，得到 $A^{-1}(AB)A = (A^{-1}A)BA = IBA = BA$。因此 $A^{-1}(AB)A = BA$。
公式：$A^{-1}(AB)A = BA$
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，但结合律成立。
步骤 3/6
目标：解释相似性
由 $A^{-1}(AB)A = BA$ 可知，存在可逆矩阵 $P = A$ 使得 $P^{-1}(AB)P = BA$。根据相似矩阵的定义，$AB$ 与 $BA$ 相似。
公式：相似定义：若存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = B$，则 $A$ 与 $B$ 相似。
提示：相似关系要求 $P$ 可逆，这里 $P=A$ 可逆，满足条件。
步骤 4/6
目标：推导特征值关系
由于相似矩阵有相同的特征值，所以 $AB$ 与 $BA$ 的特征值完全相同。注意：特征多项式相同，但特征向量一般不同。
公式：若 $A \sim B$，则 $\det(\lambda I - A) = \det(\lambda I - B)$
提示：特征值相同是相似的必要条件，但非充分。
步骤 5/6
目标：特殊情况说明
当 $A$ 不可逆时，$AB$ 与 $BA$ 不一定相似，但仍有相同的非零特征值（包括重数）。本题中 $A$ 可逆，因此相似性成立。
提示：注意条件 $A$ 可逆的重要性。
步骤 6/6
目标：总结答案
因此，$AB$ 与 $BA$ 相似，它们有相同的特征值。
提示：答案应填写“相似”或“有相同的特征值”。
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