哈尔滨工程大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
三、（15 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为一组 $n$ 维向量，求证 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关的充分必要条件为任意 $n$ 维向量均可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性表示．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确要证明的命题
我们需要证明：$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关 $\iff$ 任意 $n$ 维向量均可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示。
提示：注意区分充分性和必要性的证明方向。
步骤 2/7
目标：证明必要性：假设线性无关，推出任意向量可表示
假设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关。任取 $n$ 维向量 $\beta$，考虑向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \beta$。由于 $n+1$ 个 $n$ 维向量必线性相关，存在不全为零的系数 $k_1, k_2, \cdots, k_n, k_{n+1}$ 使得 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_n \alpha_n + k_{n+1} \beta = 0$。
公式：$n+1$ 个 $n$ 维向量必线性相关
提示：注意：这里利用了向量个数大于维数时必线性相关的性质。
步骤 3/7
目标：必要性中证明 $k_{n+1} \neq 0$
若 $k_{n+1}=0$，则 $k_1 \alpha_1 + \cdots + k_n \alpha_n = 0$。由 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 线性无关得 $k_1 = \cdots = k_n = 0$，与系数不全为零矛盾。故 $k_{n+1} \neq 0$。
提示：反证法：假设 $k_{n+1}=0$ 会导致矛盾。
步骤 4/7
目标：必要性中表示出 $\beta$
由 $k_{n+1} \neq 0$，移项得 $\beta = -\frac{k_1}{k_{n+1}} \alpha_1 - \cdots - \frac{k_n}{k_{n+1}} \alpha_n$，即 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 线性表示。必要性得证。
公式：$\beta = -\frac{k_1}{k_{n+1}} \alpha_1 - \cdots - \frac{k_n}{k_{n+1}} \alpha_n$
提示：注意系数要除以 $k_{n+1}$，且 $k_{n+1} \neq 0$。
步骤 5/7
目标：证明充分性：假设任意向量可表示，推出线性无关
假设任意 $n$ 维向量均可由 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 线性表示。特别地，取 $n$ 维基本向量 $e_1, e_2, \cdots, e_n$，则每个 $e_i$ 可由 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 线性表示。因此，向量组 $e_1, \cdots, e_n$ 可由 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 线性表示。
提示：基本向量组是线性无关的，且任意向量可由其表示。
步骤 6/7
目标：充分性中利用替换定理或秩的性质
由于 $e_1, \cdots, e_n$ 线性无关，且可由 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 线性表示，根据替换定理（或秩的性质），$\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 的秩至少为 $n$。但 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 只有 $n$ 个向量，故秩为 $n$，即它们线性无关。
公式：若向量组 $I$ 可由向量组 $II$ 线性表示，则 $\text{rank}(I) \leq \text{rank}(II)$
提示：注意：若 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 线性相关，则其秩小于 $n$，而 $e_1, \cdots, e_n$ 的秩为 $n$，矛盾。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上，必要性（$\Rightarrow$）和充分性（$\Leftarrow$）均得证，故 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关的充分必要条件为任意 $n$ 维向量均可由它们线性表示。
提示：注意书写完整，不要遗漏方向。
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