哈尔滨工程大学 2016年高等代数第1题
📝 题目
1．设 $\displaystyle (x-1)^{2} \mid A x^{4}+B x^{2}+1$ ，则 $\displaystyle A+B=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解整除条件与重根的关系
条件 $(x-1)^2 \mid Ax^4 + Bx^2 + 1$ 表示多项式 $f(x)=Ax^4+Bx^2+1$ 能被 $(x-1)^2$ 整除，即 $x=1$ 是 $f(x)$ 的二重根。因此 $f(1)=0$ 且 $f'(1)=0$。
提示：注意：$(x-1)^2$ 整除多项式意味着 $x=1$ 是至少二重根，但这里恰好是二重根。
步骤 2/6
目标：代入 x=1 得到第一个方程
由 $f(1)=0$ 得：$A\cdot 1^4 + B\cdot 1^2 + 1 = A+B+1 = 0$，所以 $A+B = -1$。
公式：f(1)=A+B+1=0
提示：代入时注意各项指数，$1^4=1$，$1^2=1$。
步骤 3/6
目标：求导并代入 x=1 得到第二个方程
对 $f(x)$ 求导：$f'(x)=4Ax^3+2Bx$。代入 $x=1$ 得 $f'(1)=4A+2B=0$，即 $2A+B=0$。
公式：f'(x)=4Ax^3+2Bx, f'(1)=4A+2B=0
提示：求导时注意系数：$Ax^4$ 导数为 $4Ax^3$，$Bx^2$ 导数为 $2Bx$，常数项导数为0。
步骤 4/6
目标：解方程组求 A 和 B
解方程组 $\begin{cases} A+B=-1 \\ 2A+B=0 \end{cases}$。两式相减得 $(2A+B)-(A+B)=0-(-1)$，即 $A=1$。代入 $A+B=-1$ 得 $1+B=-1$，所以 $B=-2$。
提示：解方程组时注意符号，相减时小心括号。
步骤 5/6
目标：计算 A+B 的值
由 $A=1$，$B=-2$，得 $A+B=1+(-2)=-1$。
提示：直接相加即可，注意负数。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此 $A+B=-1$。
提示：答案是一个数值，注意不要遗漏负号。
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