哈尔滨工程大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
七、（15分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 的 3 维线性空间，
是空间 $V$ 的一组基 $\displaystyle \beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}$ ，
$\displaystyle \beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}, \quad \beta_{3}=\alpha_{3}+\alpha_{1}$.
（1）求证 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 也是空间 $V$ 的基；
（2）求基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 到 的过渡矩阵；
（3）求 $\displaystyle \gamma=3 \alpha_{1}+\alpha_{2}-4 \alpha_{3}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的坐标．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明β₁, β₂, β₃线性无关
设$k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 = 0$，代入$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2$，$\beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3$，$\beta_3 = \alpha_3 + \alpha_1$，得$(k_1+k_3)\alpha_1 + (k_1+k_2)\alpha_2 + (k_2+k_3)\alpha_3 = 0$。由于$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，系数全为零：$\begin{cases} k_1 + k_3 = 0 \\ k_1 + k_2 = 0 \\ k_2 + k_3 = 0 \end{cases}$。解得$k_1=k_2=k_3=0$，故$\beta_1,\beta_2,\beta_3$线性无关，构成$V$的一组基。
提示：注意线性无关的定义：组合为零推出系数全为零。
步骤 2/5
目标：写出β到α的表示矩阵
由$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2$，$\beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3$，$\beta_3 = \alpha_3 + \alpha_1$，得$(\beta_1,\beta_2,\beta_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。因此从基$\beta$到基$\alpha$的过渡矩阵为$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：$(\beta_1,\beta_2,\beta_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)P$
提示：注意过渡矩阵是基变换的系数矩阵，列向量是β在α下的坐标。
步骤 3/5
目标：写出γ在基α下的坐标
已知$\gamma = 3\alpha_1 + \alpha_2 - 4\alpha_3$，所以$\gamma$在基$\alpha$下的坐标向量为$(3,1,-4)^\mathrm{T}$。
提示：坐标是系数按基的顺序排列成的列向量。
步骤 4/5
目标：建立坐标变换方程
设$\gamma$在基$\beta$下的坐标为$(x_1,x_2,x_3)^\mathrm{T}$，则$\gamma = (\beta_1,\beta_2,\beta_3)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)P\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$。又$\gamma = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{pmatrix}3\\1\\-4\end{pmatrix}$，由基$\alpha$的线性无关性得$P\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\1\\-4\end{pmatrix}$。
公式：$P\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\1\\-4\end{pmatrix}$
提示：注意坐标变换公式：新坐标 = 过渡矩阵的逆乘以旧坐标，但这里直接解线性方程组。
步骤 5/5
目标：解线性方程组求坐标
解方程组$\begin{cases} x_1 + x_3 = 3 \\ x_1 + x_2 = 1 \\ x_2 + x_3 = -4 \end{cases}$。由第一式得$x_1 = 3 - x_3$，代入第二式得$3 - x_3 + x_2 = 1$，即$x_2 = x_3 - 2$。代入第三式得$(x_3 - 2) + x_3 = -4$，即$2x_3 = -2$，解得$x_3 = -1$。回代得$x_2 = -3$，$x_1 = 4$。所以坐标为$(4,-3,-1)^\mathrm{T}$。
提示：解方程组时注意消元顺序，避免计算错误。
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