哈尔滨工程大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
九、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是一个整系数多项式，$\displaystyle f(0)$ 与 $\displaystyle f(1)$ 均为奇数，求证 $\displaystyle f(x)$ 不能有整数根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设多项式并给出已知条件
设 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$，其中 $a_i \in \mathbb{Z}$，$a_n \neq 0$。已知 $f(0) = a_0$ 为奇数，$f(1) = a_n + a_{n-1} + \cdots + a_1 + a_0$ 为奇数。
提示：注意整系数多项式的定义，系数均为整数。
步骤 2/5
目标：反设存在整数根
假设 $f(x)$ 有整数根 $k$，则 $f(k) = 0$。
提示：反证法假设存在整数根。
步骤 3/5
目标：分情况讨论：k为偶数
若 $k$ 为偶数，则 $k \equiv 0 \pmod{2}$。由于 $f(x) \equiv a_0 \pmod{2}$ 当 $x$ 为偶数时（因为所有含 $x$ 的项均为偶数），所以 $f(k) \equiv a_0 \pmod{2}$。已知 $a_0$ 为奇数，故 $f(k) \equiv 1 \pmod{2}$，与 $f(k)=0$ 矛盾。
公式：$f(k) \equiv a_0 \pmod{2}$
提示：注意模2运算：偶数项模2为0，常数项模2不变。
步骤 4/5
目标：分情况讨论：k为奇数
若 $k$ 为奇数，则 $k \equiv 1 \pmod{2}$。由于 $f(x) \equiv f(1) \pmod{2}$ 当 $x$ 为奇数时（因为 $x^i \equiv 1 \pmod{2}$），所以 $f(k) \equiv f(1) \pmod{2}$。已知 $f(1)$ 为奇数，故 $f(k) \equiv 1 \pmod{2}$，与 $f(k)=0$ 矛盾。
公式：$f(k) \equiv f(1) \pmod{2}$
提示：注意奇数模2为1，因此 $x^i \equiv 1 \pmod{2}$。
步骤 5/5
目标：得出结论
综上所述，无论 $k$ 为偶数还是奇数，均导致矛盾。因此假设不成立，$f(x)$ 不能有整数根。
提示：反证法结论要明确。
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