哈尔滨工程大学 2016年高等代数第0题

将行列式 $D_n$ 的第 $2,3,\dots,n$ 列都减去第1列，得到： $$D_n = \begin{vmatrix} x & y-x & y-x & \cdots & y-x & y-x \\ z & x-z & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ z & 0 & x-z & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ z & 0 & 0 & \cdots & x-z & 0 \\ z & 0 & 0 & \cdots & 0 & x-z \end{vmatrix}.$$

按第一列展开行列式，得到： $$D_n = x \cdot A_{11} + (y-x) \cdot A_{21} + \cdots + (y-x) \cdot A_{n1},$$ 其中 $A_{i1}$ 是第 $i$ 行第1列的代数余子式。具体地， $$A_{11} = \begin{vmatrix} x-z & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & x-z & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & x-z \end{vmatrix}_{(n-1)\times (n-1)} = (x-z)^{n-1}.$$ 对于 $i=2,\dots,n$，有 $$A_{i1} = (-1)^{1+i} M_{i1},$$ 其中 $M_{i1}$ 是去掉第 $i$ 行和第1列后的子式。

对于 $i=2,\dots,n$，余子式 $M_{i1}$ 是 $(n-1)\times (n-1)$ 行列式，其第一列全为 $z$，主对角线上除第 $i-1$ 行第 $i-1$ 列元素为0外，其余为 $x-z$，且该行列式为下三角形式，因此值为 $z \cdot (x-z)^{n-2}$。例如，当 $i=2$ 时， $$M_{21} = \begin{vmatrix} z & 0 & \cdots & 0 \\ z & x-z & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z & 0 & \cdots & x-z \end{vmatrix} = z \cdot (x-z)^{n-2}.$$

将 $A_{11}$ 和 $A_{i1}$ 代入展开式，得 $$D_n = x (x-z)^{n-1} + (y-x) \sum_{i=2}^n (-1)^{1+i} \cdot z (x-z)^{n-2}.$$ 令 $S = \sum_{i=2}^n (-1)^{1+i}$。计算 $S$： - 当 $n$ 为奇数时，$n-1$ 为偶数，从 $i=2$ 到 $n$ 共有偶数项，正负各半，和为0。 - 当 $n$ 为偶数时，$n-1$ 为奇数，项数为奇数，且首项 $i=2$ 时 $(-1)^{3}=-1$，末项 $i=n$ 时 $(-1)^{n+1}=(-1)^{\text{奇数}}=-1$，和为 $-1$。 因此 $S = \begin{cases} 0, & n \text{为奇数},\\ -1, & n \text{为偶数}. \end{cases}$

将 $S$ 代入，得 $$D_n = \begin{cases} x (x-z)^{n-1}, & n \text{为奇数},\\ x (x-z)^{n-1} - (y-x)z (x-z)^{n-2}, & n \text{为偶数}. \end{cases}$$ 注意：当 $x=z$ 时，上述公式中 $(x-z)^{n-2}$ 在 $n=2$ 时出现 $0^0$，且公式不适用于 $n>2$ 的情况，需单独处理。

当 $x=z$ 时，原行列式为 $$D_n = \begin{vmatrix} x & y & y & \cdots & y \\ x & x & y & \cdots & y \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x & x & x & \cdots & x \end{vmatrix}.$$ 从第2行起，每行减去上一行，得 $$D_n = \begin{vmatrix} x & y & y & \cdots & y \\ 0 & x-y & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & x-y & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x-y \end{vmatrix} = x (x-y)^{n-1}.$$ 此结果与之前公式在 $x=z$ 且 $n=1$ 或 $n=2$ 时一致，但 $n>2$ 时不同，故需单独说明。

综合以上，行列式 $D_n$ 的值为： $$D_n = \begin{cases} x(x-y)^{n-1}, & \text{若 } x=z,\\ \displaystyle x (x-z)^{n-1} + (y-x)z (x-z)^{n-2} \cdot \frac{(-1)^n -1}{2}, & \text{若 } x \neq z. \end{cases}$$ 其中 $\frac{(-1)^n -1}{2}$ 当 $n$ 为奇数时为 $-1$，当 $n$ 为偶数时为 $0$。也可写为： 当 $x \neq z$ 时，$D_n = (x-z)^{n-2} \left[ x(x-z) + (y-x)z \cdot \frac{(-1)^n -1}{2} \right]$。 注意：$n=1$ 时，$D_1 = x$，公式也成立。