哈尔滨工程大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
五、（15 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求证：$\displaystyle A^{n}=\left(\begin{array}{ccc}2^{n} & 2^{n-1} n & 2^{n-3} n(n-1) \\ 0 & 2^{n} & 2^{n-1} n \\ 0 & 0 & 2^{n}\end{array}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将矩阵分解为数量矩阵与幂零矩阵的和
令 $A = 2I + N$，其中 $I$ 是 $3\times 3$ 单位矩阵，$N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：$A = 2I + N$
提示：注意 $N$ 是严格上三角矩阵，其幂次会快速变为零矩阵。
步骤 2/6
目标：计算 $N$ 的幂次
计算 $N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，$N^3 = 0$。
公式：$N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，$N^3 = 0$
提示：注意 $N$ 是 $3\times 3$ 矩阵，$N^3$ 为零矩阵，因为每次乘法会将对角线向右上移动。
步骤 3/6
目标：应用二项式定理展开 $A^n$
由于 $I$ 与 $N$ 可交换，由二项式定理得 $A^n = (2I + N)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (2I)^{n-k} N^k = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 2^{n-k} N^k$。
公式：$(2I+N)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 2^{n-k} N^k$
提示：确保 $I$ 与 $N$ 可交换，否则不能直接使用二项式定理。
步骤 4/6
目标：利用 $N^3=0$ 简化求和
因为 $N^3=0$，所以 $k\ge 3$ 的项均为零，求和只保留 $k=0,1,2$：$A^n = \binom{n}{0} 2^n I + \binom{n}{1} 2^{n-1} N + \binom{n}{2} 2^{n-2} N^2$。
公式：$A^n = 2^n I + n 2^{n-1} N + \frac{n(n-1)}{2} 2^{n-2} N^2$
提示：注意 $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$，不要忘记系数。
步骤 5/6
目标：代入 $I, N, N^2$ 的矩阵形式
代入得：$A^n = 2^n \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + n 2^{n-1} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{n(n-1)}{2} 2^{n-2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：矩阵加法时注意对应位置相加。
步骤 6/6
目标：合并矩阵元素得到最终结果
合并得：$A^n = \begin{pmatrix} 2^n & n 2^{n-1} & \frac{n(n-1)}{2} 2^{n-2} \\ 0 & 2^n & n 2^{n-1} \\ 0 & 0 & 2^n \end{pmatrix}$。由于 $\frac{n(n-1)}{2} 2^{n-2} = 2^{n-3} n(n-1)$，结论成立。
公式：$A^n = \begin{pmatrix} 2^n & 2^{n-1}n & 2^{n-3}n(n-1) \\ 0 & 2^n & 2^{n-1}n \\ 0 & 0 & 2^n \end{pmatrix}$
提示：注意化简 $\frac{n(n-1)}{2} 2^{n-2} = 2^{n-3} n(n-1)$，指数运算要小心。
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