哈尔滨工程大学 2016年高等代数第0题

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+5x_2^2+3x_3^2-2x_1x_2+6x_1x_3-6x_2x_3$ 的矩阵为对称矩阵 $A$，其中 $a_{ii}$ 为平方项系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为交叉项系数的一半。因此，$$A=\begin{pmatrix} 5 & -1 & 3\\ -1 & 5 & -3\\ 3 & -3 & 3 \end{pmatrix}.$$

计算特征多项式 $|\lambda E-A|=0$：$$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix} \lambda-5 & 1 & -3\\ 1 & \lambda-5 & 3\\ -3 & 3 & \lambda-3 \end{vmatrix}= (\lambda-4)(\lambda-9)\lambda.$$ 解得特征值 $\lambda_1=4,\lambda_2=9,\lambda_3=0$。

对于 $\lambda=4$，解 $(4E-A)x=0$：$$\begin{pmatrix} -1 & 1 & -3\\ 1 & -1 & 3\\ -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}x=0,$$ 得基础解系 $\alpha_1=(1,1,0)^T$。 对于 $\lambda=9$，解 $(9E-A)x=0$：$$\begin{pmatrix} 4 & 1 & -3\\ 1 & 4 & 3\\ -3 & 3 & 6 \end{pmatrix}x=0,$$ 得 $\alpha_2=(1,-1,-2)^T$。 对于 $\lambda=0$，解 $(-A)x=0$：$$\begin{pmatrix} -5 & 1 & -3\\ 1 & -5 & 3\\ -3 & 3 & -3 \end{pmatrix}x=0,$$ 得 $\alpha_3=(1,-1,1)^T$。

将特征向量单位化：$$\beta_1=\frac{\alpha_1}{\|\alpha_1\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^T,$$ $$\beta_2=\frac{\alpha_2}{\|\alpha_2\|}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,-2)^T,$$ $$\beta_3=\frac{\alpha_3}{\|\alpha_3\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)^T.$$

令 $Q=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$，则 $Q$ 为正交矩阵。正交变换 $x=Qy$ 将二次型化为标准形：$$f=4y_1^2+9y_2^2+0y_3^2.$$

原方程 $f(x_1,x_2,x_3)=1$ 在正交变换下化为 $4y_1^2+9y_2^2=1$，这是一个椭圆柱面，母线平行于 $y_3$ 轴（因为 $y_3$ 系数为0）。