哈尔滨工程大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
六、（ 15 分）设 $A$ 为阶正交阵。
（1）求证：对任意的 维列向量 $X$ ，有 $\displaystyle \|A X\|=\|X\|$ ；
（2）若 $\displaystyle \lambda$ 为 $A$ 的一个特征值，求证 $\displaystyle |\lambda|=1$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解正交矩阵的定义
正交矩阵 $A$ 满足 $A^T A = I$，其中 $I$ 是单位矩阵。这是解题的基础。
公式：A^T A = I
提示：注意正交矩阵的定义是 $A^T A = I$，而不是 $AA^T = I$，两者等价但通常用前者。
步骤 2/7
目标：计算 $\|AX\|^2$
对于任意 $n$ 维列向量 $X$，计算 $\|AX\|^2 = (AX)^T (AX) = X^T A^T A X$。
公式：\|AX\|^2 = (AX)^T (AX)
提示：注意向量范数的平方等于内积，即 $\|v\|^2 = v^T v$。
步骤 3/7
目标：利用正交性化简
由于 $A^T A = I$，代入得 $X^T A^T A X = X^T I X = X^T X = \|X\|^2$。
公式：X^T A^T A X = X^T X
提示：确保正确使用矩阵乘法结合律，$X^T (A^T A) X$ 与 $(X^T A^T)(A X)$ 等价。
步骤 4/7
目标：得出范数相等结论
由 $\|AX\|^2 = \|X\|^2$，两边取算术平方根得 $\|AX\| = \|X\|$。
公式：\|AX\| = \|X\|
提示：范数非负，平方根取正值，无需考虑负号。
步骤 5/7
目标：引入特征值和特征向量
设 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，则存在非零向量 $X$ 使得 $AX = \lambda X$。
公式：AX = \lambda X
提示：特征向量必须非零，否则等式平凡成立。
步骤 6/7
目标：对特征向量应用范数等式
由 (1) 的结论，$\|AX\| = \|X\|$。又 $\|AX\| = \|\lambda X\| = |\lambda| \|X\|$。
公式：\|\lambda X\| = |\lambda| \|X\|
提示：注意 $\|\lambda X\| = |\lambda| \|X\|$ 是范数的齐次性。
步骤 7/7
目标：推导特征值的模为1
代入得 $|\lambda| \|X\| = \|X\|$。由于 $X \neq 0$，$\|X\| > 0$，两边除以 $\|X\|$ 得 $|\lambda| = 1$。
公式：|\lambda| = 1
提示：不能直接约去 $\|X\|$ 而不说明其非零，否则可能丢失解。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。