哈尔滨工程大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
十、（10分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $V$ 上的一个线性变换， $\displaystyle \operatorname{Im}(\mathcal{A})$ 与 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathcal{A}$ 分别为线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的值域和核空间，求证： $\displaystyle \operatorname{Im}(\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Ker} \mathcal{A}=V$ 的充分必要条件为
$\displaystyle \operatorname{Ker}(\mathcal{A})=\operatorname{Ker} \mathcal{A}^{2}$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件和目标
设 $V$ 是 $\mathbb{R}$ 上的有限维线性空间，$\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的线性变换。要证明 $\operatorname{Im}(\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Ker} \mathcal{A} = V$ 当且仅当 $\operatorname{Ker} \mathcal{A} = \operatorname{Ker} \mathcal{A}^2$。
提示：注意 $V$ 是有限维的，这是维数公式成立的前提。
步骤 2/7
目标：必要性：证明 $\operatorname{Ker} \mathcal{A} \subseteq \operatorname{Ker} \mathcal{A}^2$
若 $x \in \operatorname{Ker} \mathcal{A}$，则 $\mathcal{A}x = 0$，于是 $\mathcal{A}^2 x = \mathcal{A}(\mathcal{A}x) = \mathcal{A}0 = 0$，故 $x \in \operatorname{Ker} \mathcal{A}^2$。因此 $\operatorname{Ker} \mathcal{A} \subseteq \operatorname{Ker} \mathcal{A}^2$。
公式：$\mathcal{A}^2 x = \mathcal{A}(\mathcal{A}x)$
提示：这一步是显然的，但注意不要遗漏。
步骤 3/7
目标：必要性：证明 $\operatorname{Ker} \mathcal{A}^2 \subseteq \operatorname{Ker} \mathcal{A}$
任取 $x \in \operatorname{Ker} \mathcal{A}^2$，则 $\mathcal{A}^2 x = 0$。由直和条件，存在 $u \in \operatorname{Im}(\mathcal{A})$ 和 $v \in \operatorname{Ker} \mathcal{A}$ 使得 $x = u + v$。因为 $u \in \operatorname{Im}(\mathcal{A})$，存在 $w \in V$ 使得 $u = \mathcal{A} w$。于是 $0 = \mathcal{A}^2 x = \mathcal{A}^2(u+v) = \mathcal{A}^2 u + \mathcal{A}^2 v = \mathcal{A}^2(\mathcal{A} w) + 0 = \mathcal{A}^3 w$。所以 $\mathcal{A}^3 w = 0$。由于 $\operatorname{Im}(\mathcal{A}) \cap \operatorname{Ker} \mathcal{A} = \{0\}$，且 $\mathcal{A}^2 w \in \operatorname{Im}(\mathcal{A})$，而 $\mathcal{A}^3 w = \mathcal{A}(\mathcal{A}^2 w) = 0$ 意味着 $\mathcal{A}^2 w \in \operatorname{Ker} \mathcal{A}$，故 $\mathcal{A}^2 w = 0$。因此 $u = \mathcal{A} w \in \operatorname{Ker} \mathcal{A}$，但 $u \in \operatorname{Im}(\mathcal{A})$，所以 $u = 0$。于是 $x = v \in \operatorname{Ker} \mathcal{A}$。从而 $\operatorname{Ker} \mathcal{A}^2 \subseteq \operatorname{Ker} \mathcal{A}$。
公式：$\mathcal{A}^2 x = 0$，$x = u+v$，$u = \mathcal{A} w$
提示：注意利用直和条件 $\operatorname{Im}(\mathcal{A}) \cap \operatorname{Ker} \mathcal{A} = \{0\}$，并推导 $\mathcal{A}^2 w = 0$。
步骤 4/7
目标：必要性结论
由 $\operatorname{Ker} \mathcal{A} \subseteq \operatorname{Ker} \mathcal{A}^2$ 和 $\operatorname{Ker} \mathcal{A}^2 \subseteq \operatorname{Ker} \mathcal{A}$ 得 $\operatorname{Ker} \mathcal{A} = \operatorname{Ker} \mathcal{A}^2$。
提示：集合相等需要双向包含。
步骤 5/7
目标：充分性：证明 $\operatorname{Im}(\mathcal{A}) \cap \operatorname{Ker} \mathcal{A} = \{0\}$
假设 $\operatorname{Ker} \mathcal{A} = \operatorname{Ker} \mathcal{A}^2$。任取 $y \in \operatorname{Im}(\mathcal{A}) \cap \operatorname{Ker} \mathcal{A}$，则存在 $x \in V$ 使得 $y = \mathcal{A}x$，且 $\mathcal{A}y = 0$。于是 $\mathcal{A}^2 x = \mathcal{A}(\mathcal{A}x) = \mathcal{A}y = 0$，故 $x \in \operatorname{Ker} \mathcal{A}^2 = \operatorname{Ker} \mathcal{A}$，从而 $\mathcal{A}x = 0$，即 $y = 0$。所以 $\operatorname{Im}(\mathcal{A}) \cap \operatorname{Ker} \mathcal{A} = \{0\}$。
公式：$y = \mathcal{A}x$，$\mathcal{A}y = 0$
提示：注意 $\operatorname{Ker} \mathcal{A} = \operatorname{Ker} \mathcal{A}^2$ 的使用。
步骤 6/7
目标：充分性：利用维数公式得到直和
由维数公式 $\dim V = \dim \operatorname{Im}(\mathcal{A}) + \dim \operatorname{Ker} \mathcal{A}$，且 $\operatorname{Im}(\mathcal{A}) \cap \operatorname{Ker} \mathcal{A} = \{0\}$，故 $\operatorname{Im}(\mathcal{A}) + \operatorname{Ker} \mathcal{A}$ 是直和，且维数等于 $\dim V$，因此 $\operatorname{Im}(\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Ker} \mathcal{A} = V$。
公式：$\dim V = \dim \operatorname{Im}(\mathcal{A}) + \dim \operatorname{Ker} \mathcal{A}$
提示：直和需要满足和空间维数等于 $V$ 的维数且交为零。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上，$\operatorname{Im}(\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Ker} \mathcal{A} = V$ 当且仅当 $\operatorname{Ker} \mathcal{A} = \operatorname{Ker} \mathcal{A}^2$。
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