哈尔滨工程大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
四、（15分）设 $\displaystyle A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle |A| \neq 0, A C=C A$ 。求证：$\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right|=|A D-C B|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用A可逆构造分块初等矩阵
由于 $|A| \neq 0$，$A$ 可逆。构造分块初等矩阵 $\begin{pmatrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{pmatrix}$，左乘原矩阵：
$$\begin{pmatrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D - CA^{-1}B \end{pmatrix}.$$
公式：分块矩阵乘法
提示：注意左乘时，左下块的计算：$(-CA^{-1})A + I \cdot C = -C + C = 0$。
步骤 2/5
目标：取行列式化简
两边取行列式，左边第一个矩阵的行列式为 $|I| \cdot |I| = 1$，所以
$$\left|\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right| = |A| \cdot |D - CA^{-1}B|.$$
公式：分块三角矩阵的行列式：$\begin{vmatrix} A & B \\ 0 & D \end{vmatrix} = |A| \cdot |D|$
提示：注意分块初等矩阵的行列式为1，因为它是单位矩阵的初等变换。
步骤 3/5
目标：利用交换性化简表达式
由条件 $AC = CA$ 且 $A$ 可逆，左乘 $A^{-1}$ 得 $C = A^{-1}CA$，即 $C$ 与 $A$ 可交换。因此 $CA^{-1} = A^{-1}C$。于是
$$D - CA^{-1}B = D - A^{-1}CB.$$
公式：矩阵乘法交换性：$AC = CA \Rightarrow CA^{-1} = A^{-1}C$
提示：注意交换性成立的条件：$A$ 可逆且与 $C$ 交换。
步骤 4/5
目标：将行列式转化为乘积形式
由于 $|A| \neq 0$，有
$$|A| \cdot |D - A^{-1}CB| = |A(D - A^{-1}CB)| = |AD - AA^{-1}CB| = |AD - CB|.$$
公式：行列式乘法性质：$|AB| = |A||B|$
提示：注意 $A$ 左乘矩阵时，$A(D - A^{-1}CB) = AD - AA^{-1}CB = AD - CB$。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，
$$\left|\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right| = |AD - CB|.$$
提示：最终结果与常见公式 $\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = |AD - BC|$ 不同，注意顺序。
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