哈尔滨工程大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
1．若 $\left|\begin{array}{cccc}2 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 12 \\ 1 & x & x^{2} & x^{3}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}2 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 4 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 6 & 15 \\ 1 & x & x^{2} & x^{3}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 12 \\ 1 & x & x^{2} & x^{3}\end{array}\right|=0$ 的三个根为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：合并三个行列式
设三个行列式分别为 $D_1, D_2, D_3$，则 $D_1 + D_2 + D_3 = 0$。由于行列式是第四行的线性函数，可以将三个行列式的对应行相加，第四行不变。第一行：$(2,2,2,2)+(2,2,2,2)+(2,2,2,2) = (6,6,6,6)$；第二行：$(1,-1,0,3)+(1,4,4,8)+(0,3,4,5) = (2,6,8,16)$；第三行：$(1,2,3,12)+(0,1,6,15)+(1,2,3,12) = (2,5,12,39)$；第四行：$(1,x,x^2,x^3)$。所以原方程等价于
$$
\begin{vmatrix}
6 & 6 & 6 & 6 \\
2 & 6 & 8 & 16 \\
2 & 5 & 12 & 39 \\
1 & x & x^2 & x^3
\end{vmatrix} = 0.
$$
公式：行列式的线性性质
提示：注意对应行相加，不要错位。
步骤 2/6
目标：化简行列式
第一行提取公因子6：
$$
6 \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 6 & 8 & 16 \\
2 & 5 & 12 & 39 \\
1 & x & x^2 & x^3
\end{vmatrix} = 0.
$$
将第一列乘以-1加到其他列：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 4 & 6 & 14 \\
2 & 3 & 10 & 37 \\
1 & x-1 & x^2-1 & x^3-1
\end{vmatrix}.
$$
按第一行展开得
$$
\begin{vmatrix}
4 & 6 & 14 \\
3 & 10 & 37 \\
x-1 & x^2-1 & x^3-1
\end{vmatrix}.
$$
公式：行列式按行展开
提示：提取公因子时注意不要遗漏系数6。
步骤 3/6
目标：进一步化简3阶行列式
将第二列减去第一列，第三列减去第一列：
$$
\begin{vmatrix}
4 & 2 & 10 \\
3 & 7 & 34 \\
x-1 & (x-1)(x+1) & (x-1)(x^2+x+1)
\end{vmatrix}.
$$
第三行提取公因子 $x-1$：
$$
(x-1) \begin{vmatrix}
4 & 2 & 10 \\
3 & 7 & 34 \\
1 & x+1 & x^2+x+1
\end{vmatrix}.
$$
公式：行列式列变换
提示：提取公因子时注意符号，$x^2-1=(x-1)(x+1)$。
步骤 4/6
目标：计算3阶行列式
按第一行展开：
$$
\begin{aligned}
&4 \begin{vmatrix} 7 & 34 \\ x+1 & x^2+x+1 \end{vmatrix}
-2 \begin{vmatrix} 3 & 34 \\ 1 & x^2+x+1 \end{vmatrix}
+10 \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 1 & x+1 \end{vmatrix} \\
&= 4[7(x^2+x+1) - 34(x+1)] - 2[3(x^2+x+1) - 34] + 10[3(x+1) - 7] \\
&= 4(7x^2+7x+7 -34x-34) - 2(3x^2+3x+3-34) + 10(3x+3-7) \\
&= 4(7x^2 -27x -27) - 2(3x^2+3x-31) + 10(3x-4) \\
&= 28x^2 -108x -108 -6x^2 -6x +62 +30x -40 \\
&= 22x^2 -84x -86.
\end{aligned}
$$
公式：二阶行列式计算
提示：注意展开时符号和代数运算的准确性。
步骤 5/6
目标：得到关于x的方程
原行列式等于 $6 \cdot (x-1) \cdot (22x^2 -84x -86) = 0$，即
$$
6(x-1)(22x^2 -84x -86)=0.
$$
除以6得
$$
(x-1)(22x^2 -84x -86)=0.
$$
所以 $x_1=1$，$x_2, x_3$ 是二次方程 $22x^2 -84x -86=0$ 的根。
公式：因式分解
提示：不要忘记系数6，但最终方程可约去。
步骤 6/6
目标：利用韦达定理求平方和
对于二次方程 $22x^2 -84x -86=0$，有 $x_2+x_3 = \frac{84}{22} = \frac{42}{11}$，$x_2 x_3 = \frac{-86}{22} = -\frac{43}{11}$。则
$$
x_1^2+x_2^2+x_3^2 = 1^2 + (x_2+x_3)^2 - 2x_2x_3 = 1 + \left(\frac{42}{11}\right)^2 - 2\left(-\frac{43}{11}\right) = 1 + \frac{1764}{121} + \frac{86}{11}.
$$
通分计算：$\frac{86}{11} = \frac{946}{121}$，所以
$$
1 + \frac{1764}{121} + \frac{946}{121} = \frac{121}{121} + \frac{1764}{121} + \frac{946}{121} = \frac{2831}{121}.
$$
公式：韦达定理
提示：注意 $x_2^2+x_3^2 = (x_2+x_3)^2 - 2x_2x_3$。
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