📝 哈尔滨工程大学 2020年高等代数真题

1．若 $\left|\begin{array}{cccc}2 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 12 \\ 1 & x & x^{2} & x^{3}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}2 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 4 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 6 & 15 \\ 1 & x & x^{2} & x^{3}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 12 \\ 1 & x & x^{2} & x^{3}\end{array}\right|=0$ 的三个根为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=$ $\_\_\_\_$。

2．设一元多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的最小公倍式为 $\left(x^{3}+1\right)(x-2)$ ，且
$f(x) g(x)=(x+1)^{2}\left(x^{2}-x+1\right)(x-2)$ ，则 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的首 1 最大公因式为
$\_\_\_\_$。

3．设 $\alpha_{1}=(a, 1,1,1), \alpha_{2}=(1, a, 1,1), \alpha_{3}=(1,1, a, 1), \alpha_{4}=(1,1,1, a)$ ，已知 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关， $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性相关，则 $a=$ $\_\_\_\_$。

4．设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $A+E, A+2 E$ 和 $A+3 E$ 均不可逆，则 $\left|A^{2}+E\right|=$ $\_\_\_\_$。

5．设 $V$ 是全体 4 阶实对称阵，按矩阵的加法和数乘运算构成的实数域上的线性空间，则 $\operatorname{dim} V=$ $\_\_\_\_$。

七、（15 分）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 ．
（1）求 $a$ 的值；
（2）用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换．

九、（15 分）设 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中线性变换 $\displaystyle T_{1}$ 在基 $\displaystyle a_{1}=(1,2)^{T}, a_{2}=(2,3)^{T}$ 下的矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}3 & 5 \\ 4 & 3\end{array}\right)$ ，线性变换 $\displaystyle T_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(3,1)^{T}, \beta_{2}(4,2)^{T}$ 下的矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}4 & 6 \\ 6 & 9\end{array}\right)$ ．
（1）求基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 到基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 的过渡矩阵 $P$ ；
（2）求线性变化 $\displaystyle T_{1}+T_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 下的矩阵．

二、（10 分）已知 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=1$ ，计算列式 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}1-2 x_{1}^{2} & -2 x_{1} x_{2} & \cdots & -2 x_{1} x_{n} \\ -2 x_{2} x_{1} & 1-2 x_{2}^{2} & \cdots & -2 x_{2} x_{n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ -2 x_{n} x_{1} & -2 x_{n} x_{2} & \cdots & 1-2 x_{n}^{2}\end{array}\right|$ ．三、（15 分）设 3 阶方阵 $A$ 与 $B$ 满足 $\displaystyle A B=A+2 B$ ，其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3\end{array}\right)$ ，求矩阵 $B$ ．

八、（本题 15 分）求证：矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 与矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 相似。

六、（15 分）已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}$ 线性相关，求证：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}+\alpha_{4}$ 线性无关．

十、（本题15分）设 $V$ 为3维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为 $V$ 中的4个向量，已知 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 $V$ 的一组基，且 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}=0$ ．
（1）求证：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 中任意 3 个向量均匀构成 $V$ 的一组基；
（2）求证：对 $V$ 中任意向量 $\displaystyle \beta$ ，在（1）中 4 组基中必存在一组基 $\displaystyle \beta$ 在该基下的坐标均非负。

四、（15 分）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，求满足 $\displaystyle A P=B$ 的全部矩阵 $P$ ．五、（15 分）在多项式空间 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{5}$ 中，求向量组 $\displaystyle f_{1}(x)=1+x+x^{2}, f_{2}(x)=x+x^{2}+x^{3}+x^{4}$ ， $\displaystyle f_{3}(x)=1+x^{2}+2 x^{3}+x^{4}, f_{4}(x)=2+2 x+2 x^{2}+4 x^{3}+2 x^{4}$,
$\displaystyle f_{5}(x)=1+x+2 x^{2}+3 x^{3}+2 x^{4}$ 的秩和极大线性无关组，并把区域向量用极大线性无关组线性表示。