哈尔滨工程大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $V$ 是全体 4 阶实对称阵，按矩阵的加法和数乘运算构成的实数域上的线性空间，则 $\operatorname{dim} V=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解线性空间的维数定义
线性空间 $V$ 的维数定义为该空间的一组基所含向量的个数。对于由 $4$ 阶实对称矩阵构成的线性空间，我们需要找到一组基，并计算基中矩阵的个数。
提示：维数等于基中向量的个数，不是矩阵中元素的个数。
步骤 2/4
目标：分析实对称矩阵的独立元素
一个 $4$ 阶实对称矩阵 $A = (a_{ij})$ 满足 $a_{ij} = a_{ji}$。因此，矩阵中的元素不是全部独立的。主对角线上的元素 $a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{44}$ 可以独立选取，共 $4$ 个。上三角部分（不包括对角线）的元素 $a_{ij}$（$i
公式：独立元素个数 = $n + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$
提示：注意对称性：上三角和下三角的元素不是独立的，只需考虑上三角或下三角。
步骤 3/4
目标：构造一组基
我们可以构造一组基，每个基矩阵只有一个独立元素为 $1$，其余为 $0$。例如，对于每个 $i \le j$，定义矩阵 $E_{ij}$，其中 $(i,j)$ 和 $(j,i)$ 位置为 $1$，其余为 $0$。当 $i=j$ 时，$E_{ii}$ 只有 $(i,i)$ 位置为 $1$。这样共有 $10$ 个这样的矩阵，它们线性无关且张成整个空间。
提示：基矩阵的构造要确保线性无关且能表示任意对称矩阵。
步骤 4/4
目标：计算维数
由独立元素个数可知，$4$ 阶实对称矩阵空间的维数为 $\frac{4 \times (4+1)}{2} = \frac{20}{2} = 10$。因此，$\dim V = 10$。
公式：$\dim V = \frac{n(n+1)}{2}$，其中 $n=4$
提示：代入公式时注意 $n$ 是矩阵的阶数。
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