哈尔滨工程大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
2．设一元多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的最小公倍式为 $\left(x^{3}+1\right)(x-2)$ ，且
$f(x) g(x)=(x+1)^{2}\left(x^{2}-x+1\right)(x-2)$ ，则 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的首 1 最大公因式为
$\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设出最大公因式并分解
设 $d(x) = \gcd(f(x), g(x))$，且 $f(x) = d(x) f_1(x)$，$g(x) = d(x) g_1(x)$，其中 $\gcd(f_1, g_1) = 1$。则最小公倍式为 $\operatorname{lcm}(f, g) = d(x) f_1(x) g_1(x)$。
公式：若 $f = d f_1$, $g = d g_1$ 且 $\gcd(f_1, g_1)=1$，则 $\operatorname{lcm}(f,g) = d f_1 g_1$
提示：注意互素条件，否则最小公倍式公式不成立。
步骤 2/6
目标：写出已知条件
已知 $\operatorname{lcm}(f, g) = (x^3+1)(x-2) = (x+1)(x^2-x+1)(x-2)$，且 $f(x)g(x) = (x+1)^2 (x^2-x+1)(x-2)$。
提示：注意因式分解：$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$。
步骤 3/6
目标：建立乘积与最小公倍式的关系
由于 $f(x)g(x) = d(x)^2 f_1(x) g_1(x)$，而 $\operatorname{lcm}(f, g) = d(x) f_1(x) g_1(x)$，所以 $f(x)g(x) = d(x) \cdot \operatorname{lcm}(f, g)$。
公式：$f(x)g(x) = \gcd(f,g) \cdot \operatorname{lcm}(f,g)$
提示：这是多项式中的恒等式，注意与整数类似。
步骤 4/6
目标：代入已知表达式
代入得：$(x+1)^2 (x^2-x+1)(x-2) = d(x) \cdot (x+1)(x^2-x+1)(x-2)$。
提示：注意等式两边因式相同，可约去公因子。
步骤 5/6
目标：约去公因子求解d(x)
两边约去 $(x+1)(x^2-x+1)(x-2)$（这些因子非零），得到 $d(x) = x+1$。
提示：约去时需确保因子不为零多项式，但作为多项式恒等式，约去是合法的。
步骤 6/6
目标：得出最大公因式
因此，$f(x)$ 与 $g(x)$ 的首1最大公因式为 $x+1$。
提示：首1指最高次项系数为1，这里 $x+1$ 已是首1。
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