哈尔滨工程大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
六、（15 分）已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}$ 线性相关，求证：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}+\alpha_{4}$ 线性无关．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：假设结论不成立，引出线性相关定义
假设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3+\alpha_4$ 线性相关，则存在不全为零的数 $k_1, k_2, k_3$，使得 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 (\alpha_3+\alpha_4) = 0$。整理得 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3 + k_3 \alpha_4 = 0$。
公式：k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 (\alpha_3+\alpha_4) = 0
提示：注意线性相关的定义：存在不全为零的系数使得线性组合为零。
步骤 2/6
目标：利用已知条件表示α4
已知 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 线性相关，故存在不全为零的数 $l_1, l_2, l_3$，使得 $l_1 \alpha_1 + l_2 \alpha_2 + l_3 \alpha_4 = 0$。由于 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关（因为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关），所以 $l_3 \neq 0$，否则 $l_1, l_2$ 不全为零导致 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性相关。于是可得 $\alpha_4 = -\frac{l_1}{l_3} \alpha_1 - \frac{l_2}{l_3} \alpha_2$。
公式：l_1 \alpha_1 + l_2 \alpha_2 + l_3 \alpha_4 = 0, \quad \alpha_4 = -\frac{l_1}{l_3} \alpha_1 - \frac{l_2}{l_3} \alpha_2
提示：注意 $l_3 \neq 0$ 的推理：若 $l_3=0$，则 $l_1, l_2$ 不全为零且 $l_1 \alpha_1 + l_2 \alpha_2 = 0$，与 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关矛盾。
步骤 3/6
目标：代入α4并整理
将 $\alpha_4$ 的表达式代入第一步的等式：$k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3 + k_3 \left( -\frac{l_1}{l_3} \alpha_1 - \frac{l_2}{l_3} \alpha_2 \right) = 0$。整理得 $\left( k_1 - \frac{k_3 l_1}{l_3} \right) \alpha_1 + \left( k_2 - \frac{k_3 l_2}{l_3} \right) \alpha_2 + k_3 \alpha_3 = 0$。
公式：\left( k_1 - \frac{k_3 l_1}{l_3} \right) \alpha_1 + \left( k_2 - \frac{k_3 l_2}{l_3} \right) \alpha_2 + k_3 \alpha_3 = 0
提示：代入时注意系数合并，不要遗漏项。
步骤 4/6
目标：利用α1,α2,α3线性无关推出系数全为零
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，所以上式中系数全为零：$k_1 - \frac{k_3 l_1}{l_3} = 0$，$k_2 - \frac{k_3 l_2}{l_3} = 0$，$k_3 = 0$。
提示：线性无关的定义：若 $c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2 + c_3 \alpha_3 = 0$，则 $c_1=c_2=c_3=0$。
步骤 5/6
目标：导出矛盾
由 $k_3 = 0$ 代入前两个方程得 $k_1 = 0$，$k_2 = 0$。因此 $k_1, k_2, k_3$ 全为零，与假设它们不全为零矛盾。
提示：注意矛盾点：假设存在不全为零的系数，但推导出所有系数为零。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此假设不成立，故向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3+\alpha_4$ 线性无关。
提示：结论要明确写出。
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