哈尔滨工程大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
九、（15 分）设 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中线性变换 $\displaystyle T_{1}$ 在基 $\displaystyle a_{1}=(1,2)^{T}, a_{2}=(2,3)^{T}$ 下的矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}3 & 5 \\ 4 & 3\end{array}\right)$ ，线性变换 $\displaystyle T_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(3,1)^{T}, \beta_{2}(4,2)^{T}$ 下的矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}4 & 6 \\ 6 & 9\end{array}\right)$ ．
（1）求基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 到基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 的过渡矩阵 $P$ ；
（2）求线性变化 $\displaystyle T_{1}+T_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 下的矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出基向量矩阵
将基向量按列组成矩阵：
基 $\alpha_1, \alpha_2$ 的矩阵为 $A_\alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$；
基 $\beta_1, \beta_2$ 的矩阵为 $B_\beta = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$。
提示：注意基向量是列向量，矩阵的列对应基向量。
步骤 2/5
目标：求过渡矩阵 P
过渡矩阵 $P$ 满足 $(\beta_1, \beta_2) = (\alpha_1, \alpha_2) P$，所以 $P = A_\alpha^{-1} B_\beta$。
先求 $A_\alpha^{-1}$：
$\det(A_\alpha) = 1\cdot3 - 2\cdot2 = -1$，
$A_\alpha^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$。
计算 $P$：
$P = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & -8 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$。
公式：$P = (\alpha_1, \alpha_2)^{-1} (\beta_1, \beta_2)$
提示：注意矩阵乘法的顺序，左乘逆矩阵。
步骤 3/5
目标：求 P 的逆矩阵
为后续计算，先求 $P^{-1}$。
$\det(P) = (-7)\cdot6 - (-8)\cdot5 = -42 + 40 = -2$，
$P^{-1} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ -5 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ \frac{5}{2} & \frac{7}{2} \end{pmatrix}$。
公式：$P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$（对于 $P = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$）
提示：注意符号和分数化简。
步骤 4/5
目标：将 T1 的矩阵转换到基 β 下
线性变换 $T_1$ 在基 $\alpha$ 下的矩阵为 $A$，则在基 $\beta$ 下的矩阵为 $A' = P^{-1} A P$。
先计算 $P^{-1}A$：
$P^{-1}A = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ \frac{5}{2} & \frac{7}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -25 & -27 \\ \frac{43}{2} & 23 \end{pmatrix}$。
再乘以 $P$：
$A' = \begin{pmatrix} -25 & -27 \\ \frac{43}{2} & 23 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -7 & -8 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 & 38 \\ -\frac{71}{2} & -34 \end{pmatrix}$。
公式：$A' = P^{-1} A P$
提示：矩阵乘法顺序不可交换，注意分数运算。
步骤 5/5
目标：求 T1+T2 在基 β 下的矩阵
$T_2$ 在基 $\beta$ 下的矩阵就是 $B$，所以 $T_1+T_2$ 在基 $\beta$ 下的矩阵为 $A' + B$：
$A' + B = \begin{pmatrix} 40 & 38 \\ -\frac{71}{2} & -34 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 44 & 44 \\ -\frac{59}{2} & -25 \end{pmatrix}$。
公式：线性变换和的矩阵等于矩阵的和
提示：注意分数加法，$6 = \frac{12}{2}$。
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