哈尔滨工程大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
二、（10 分）已知 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=1$ ，计算列式 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}1-2 x_{1}^{2} & -2 x_{1} x_{2} & \cdots & -2 x_{1} x_{n} \\ -2 x_{2} x_{1} & 1-2 x_{2}^{2} & \cdots & -2 x_{2} x_{n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ -2 x_{n} x_{1} & -2 x_{n} x_{2} & \cdots & 1-2 x_{n}^{2}\end{array}\right|$ ．三、（15 分）设 3 阶方阵 $A$ 与 $B$ 满足 $\displaystyle A B=A+2 B$ ，其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3\end{array}\right)$ ，求矩阵 $B$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将行列式表示为矩阵形式
令 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T$，则 $\mathbf{x}\mathbf{x}^T$ 是 $n \times n$ 矩阵，其 $(i,j)$ 元为 $x_i x_j$。所给行列式可写为 $D_n = \det\left( I_n - 2 \mathbf{x}\mathbf{x}^T \right)$，其中 $I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
公式：$D_n = \det(I_n - 2\mathbf{x}\mathbf{x}^T)$
提示：注意 $\mathbf{x}\mathbf{x}^T$ 是秩1矩阵，其非零特征值为 $\mathbf{x}^T\mathbf{x}$。
步骤 2/7
目标：分析矩阵的特征值
由于 $\mathbf{x}\mathbf{x}^T$ 是秩1矩阵，其特征值为 $\mathbf{x}^T\mathbf{x} = 1$（非零特征值）和 $0$（$n-1$ 重）。因此 $I_n - 2\mathbf{x}\mathbf{x}^T$ 的特征值为 $1-2\cdot1 = -1$（对应特征向量 $\mathbf{x}$）和 $1-2\cdot0 = 1$（$n-1$ 重）。
公式：$\lambda_i = 1 - 2\mu_i$，其中 $\mu_i$ 是 $\mathbf{x}\mathbf{x}^T$ 的特征值
提示：注意 $\mathbf{x}\mathbf{x}^T$ 的特征值只有一个是非零的，其余全为零。
步骤 3/7
目标：计算行列式
行列式等于特征值的乘积，故 $D_n = (-1) \cdot 1^{n-1} = -1$。
公式：$\det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i$
提示：注意特征值乘积中 $1^{n-1}=1$，所以结果为 $-1$。
步骤 4/7
目标：整理矩阵方程
由 $AB = A + 2B$ 移项得 $AB - 2B = A$，即 $(A-2I)B = A$，其中 $I$ 是3阶单位矩阵。
公式：$(A-2I)B = A$
提示：注意矩阵乘法不交换，提取公因子时需小心。
步骤 5/7
目标：计算 $A-2I$ 及其行列式
$A-2I = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$。计算行列式：$\det(A-2I) = 2\begin{vmatrix}-1 & 0 \\ 2 & 1\end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix}1 & 0 \\ -1 & 1\end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix}1 & -1 \\ -1 & 2\end{vmatrix} = 2(-1) - 2(1) + 3(2-1) = -2 -2 +3 = -1$。
公式：行列式按第一行展开
提示：计算余子式时注意符号。
步骤 6/7
目标：求 $A-2I$ 的逆矩阵
使用伴随矩阵法。计算各余子式得 $C_{11}=-1, C_{12}=4, C_{13}=3, C_{21}=-1, C_{22}=5, C_{23}=3, C_{31}=1, C_{32}=-6, C_{33}=-4$。伴随矩阵为 $\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 4 & 5 & -6 \\ 3 & 3 & -4 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -1 & 5 & 3 \\ 1 & -6 & -4 \end{pmatrix}$。故 $(A-2I)^{-1} = \frac{1}{\det(A-2I)} \text{adj}(A-2I) = -1 \cdot \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -1 & 5 & 3 \\ 1 & -6 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 1 & -5 & -3 \\ -1 & 6 & 4 \end{pmatrix}$。
公式：$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$
提示：注意伴随矩阵是余子式矩阵的转置，且符号由 $(-1)^{i+j}$ 决定。
步骤 7/7
目标：求解矩阵 $B$
由 $(A-2I)B = A$ 得 $B = (A-2I)^{-1}A$。计算乘积：$B = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 1 & -5 & -3 \\ -1 & 6 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -8 & -6 \\ 2 & -9 & -6 \\ -2 & 12 & 9 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法
提示：矩阵乘法时注意对应行与列相乘，避免计算错误。
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