哈尔滨工程大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $\alpha_{1}=(a, 1,1,1), \alpha_{2}=(1, a, 1,1), \alpha_{3}=(1,1, a, 1), \alpha_{4}=(1,1,1, a)$ ，已知 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关， $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性相关，则 $a=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析向量组线性关系
已知 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，而 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关，则 $\alpha_4$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示。设 $\alpha_4 = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3$。
公式：线性相关与线性表示的关系
提示：注意：线性相关意味着至少有一个向量可由其余向量线性表示，但需确认哪个向量可被表示。
步骤 2/5
目标：写出线性表示的方程组
将向量代入：$(1,1,1,a) = k_1(a,1,1,1) + k_2(1,a,1,1) + k_3(1,1,a,1)$。比较各分量得到方程组：
\[
\begin{cases}
a k_1 + k_2 + k_3 = 1 \\
k_1 + a k_2 + k_3 = 1 \\
k_1 + k_2 + a k_3 = 1 \\
k_1 + k_2 + k_3 = a
\end{cases}
\]
提示：注意向量分量的对应关系，不要写错顺序。
步骤 3/5
目标：利用第四个方程简化前三个方程
由第四个方程得 $k_1+k_2+k_3 = a$。将其代入前三个方程，例如第一个方程：$a k_1 + k_2 + k_3 = a k_1 + (a - k_1) = (a-1)k_1 + a = 1$，整理得 $(a-1)k_1 = 1-a$，即 $(a-1)(k_1+1)=0$。同理可得 $(a-1)(k_2+1)=0$，$(a-1)(k_3+1)=0$。
提示：代入时注意整体替换，避免计算错误。
步骤 4/5
目标：讨论参数a的取值情况
若 $a \neq 1$，则 $k_1+1=0$，$k_2+1=0$，$k_3+1=0$，即 $k_1=k_2=k_3=-1$。代入 $k_1+k_2+k_3 = a$ 得 $-3 = a$，即 $a = -3$。
若 $a=1$，则所有向量均为 $(1,1,1,1)$，此时 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关，与已知矛盾。
提示：注意分类讨论，不要遗漏 $a=1$ 的情况。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，满足条件的 $a$ 值为 $-3$。
提示：最终答案需验证是否满足所有条件。
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