哈尔滨工程大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
十、（本题15分）设 $V$ 为3维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为 $V$ 中的4个向量，已知 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 $V$ 的一组基，且 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}=0$ ．
（1）求证：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 中任意 3 个向量均匀构成 $V$ 的一组基；
（2）求证：对 $V$ 中任意向量 $\displaystyle \beta$ ，在（1）中 4 组基中必存在一组基 $\displaystyle \beta$ 在该基下的坐标均非负。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用已知条件表示α4
已知 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 $V$ 的一组基，且 $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=0$，因此 $\alpha_4 = -\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3$。
公式：$\alpha_4 = -\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3$
提示：注意基的线性无关性，确保表示唯一。
步骤 2/7
目标：证明任意三个向量线性无关
要证明任意三个向量构成基，只需证明它们线性无关。由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是基，只需验证其他组合能表示出 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 即可。
- 对于 $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4\}$：由 $\alpha_4 = -\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3$ 得 $\alpha_3 = -\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_4$，故 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 线性无关。
- 对于 $\{\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4\}$：由 $\alpha_4 = -\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3$ 得 $\alpha_2 = -\alpha_1 - \alpha_3 - \alpha_4$，故线性无关。
- 对于 $\{\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\}$：由 $\alpha_4 = -\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3$ 得 $\alpha_1 = -\alpha_2 - \alpha_3 - \alpha_4$，故线性无关。
提示：注意每个组合都能表示出缺失的那个基向量，从而证明线性无关。
步骤 3/7
目标：总结第一问结论
因此，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 中任意三个向量均线性无关，且由于 $V$ 是3维空间，它们构成 $V$ 的一组基。
提示：线性无关且个数等于维数即构成基。
步骤 4/7
目标：设β在基{α1,α2,α3}下的坐标
设 $\beta$ 在基 $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$ 下的坐标为 $(x_1, x_2, x_3)^T$，即 $\beta = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3$。
公式：$\beta = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3$
提示：坐标是唯一的。
步骤 5/7
目标：计算β在其他三组基下的坐标
利用 $\alpha_4 = -\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3$ 以及 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性表示，计算 $\beta$ 在其他基下的坐标：
- 基 $B_2 = \{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4\}$：$\beta = (x_1 - x_3)\alpha_1 + (x_2 - x_3)\alpha_2 + (-x_3)\alpha_4$，坐标 $(x_1 - x_3, x_2 - x_3, -x_3)$。
- 基 $B_3 = \{\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4\}$：$\beta = (x_1 - x_2)\alpha_1 + (x_3 - x_2)\alpha_3 + (-x_2)\alpha_4$，坐标 $(x_1 - x_2, x_3 - x_2, -x_2)$。
- 基 $B_4 = \{\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\}$：$\beta = (x_2 - x_1)\alpha_2 + (x_3 - x_1)\alpha_3 + (-x_1)\alpha_4$，坐标 $(x_2 - x_1, x_3 - x_1, -x_1)$。
提示：注意坐标变换时，要正确表达基之间的转换关系。
步骤 6/7
目标：分析坐标非负的条件
设 $m = \min\{x_1, x_2, x_3\}$。
- 若 $m = x_1$：若 $x_1 \leq 0$，则基 $B_4$ 的坐标 $(x_2 - x_1, x_3 - x_1, -x_1)$ 均非负；若 $x_1 > 0$，则所有 $x_i > 0$，基 $B_1$ 的坐标全正。
- 若 $m = x_2$：若 $x_2 \leq 0$，则基 $B_3$ 的坐标 $(x_1 - x_2, x_3 - x_2, -x_2)$ 非负；若 $x_2 > 0$，则基 $B_1$ 全正。
- 若 $m = x_3$：若 $x_3 \leq 0$，则基 $B_2$ 的坐标 $(x_1 - x_3, x_2 - x_3, -x_3)$ 非负；若 $x_3 > 0$，则基 $B_1$ 全正。
提示：注意最小值可能为负，此时对应基的坐标非负；若最小值正，则原基坐标全正。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，对任意 $\beta \in V$，总存在一组基（$B_1, B_2, B_3, B_4$ 之一）使得 $\beta$ 在该基下的坐标均非负。
提示：分类讨论要全面，覆盖所有可能情况。
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