哈尔滨工程大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $A+E, A+2 E$ 和 $A+3 E$ 均不可逆，则 $\left|A^{2}+E\right|=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用不可逆条件得到特征值
由于 $A+E$, $A+2E$, $A+3E$ 均不可逆，所以它们的行列式为零：$|A+E|=0$, $|A+2E|=0$, $|A+3E|=0$。这意味着 $-1$, $-2$, $-3$ 是 $A$ 的特征值。
公式：若 $|A+\lambda E|=0$，则 $-\lambda$ 是 $A$ 的特征值。
提示：注意不可逆等价于行列式为0，从而得到特征值。
步骤 2/4
目标：确定A的所有特征值
因为 $A$ 是3阶方阵，恰好有三个特征值，所以 $A$ 的特征值为 $-1$, $-2$, $-3$。
提示：特征值的个数等于矩阵的阶数，这里正好三个。
步骤 3/4
目标：计算A^2+E的特征值
若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda^2+1$ 是 $A^2+E$ 的特征值。因此 $A^2+E$ 的特征值为 $(-1)^2+1=2$, $(-2)^2+1=5$, $(-3)^2+1=10$。
公式：若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $f(\lambda)$ 是 $f(A)$ 的特征值。
提示：注意特征值的多项式映射：$A^2+E$ 对应 $\lambda^2+1$。
步骤 4/4
目标：计算行列式
矩阵的行列式等于其特征值的乘积，所以 $|A^2+E| = 2 \times 5 \times 10 = 100$。
公式：$|B| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$，其中 $\lambda_i$ 是 $B$ 的特征值。
提示：行列式等于所有特征值的乘积，注意特征值可能有重根，但这里都是单根。
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