哈尔滨工程大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
八、（本题 15 分）求证：矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 与矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 相似。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算矩阵A的特征值
矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ 是秩为1的矩阵。特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \lambda^2(\lambda - 3)$，所以特征值为 $\lambda_1 = 3$（单重）和 $\lambda_2 = 0$（二重）。
公式：$\det(\lambda I - A) = \lambda^2(\lambda - 3)$
提示：注意秩1矩阵的特征值：迹等于非零特征值。
步骤 2/5
目标：求矩阵A的Jordan标准形
对于特征值3，解 $(A-3I)x=0$，得特征向量 $(1,1,1)^T$，几何重数为1，故有一个1阶Jordan块。对于特征值0，解 $Ax=0$，得特征空间维数为2（因为秩为1），几何重数为2，故有两个1阶Jordan块。因此A的Jordan标准形为 $\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：几何重数等于特征空间的维数，代数重数减几何重数给出Jordan块大小。
步骤 3/5
目标：计算矩阵B的特征值
矩阵 $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ 是上三角矩阵，特征值为对角线元素，即 $\lambda = 0$（三重）。
提示：上三角矩阵的特征值即对角线元素。
步骤 4/5
目标：求矩阵B的Jordan标准形
B的秩为1（只有第三列非零且成比例），所以零空间维数为2，即几何重数为2。代数重数为3，几何重数为2，故Jordan标准形中有一个2阶Jordan块和一个1阶Jordan块。具体地，B的Jordan标准形为 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：计算B的秩和零空间维数来确定几何重数。
步骤 5/5
目标：比较Jordan标准形
A的Jordan标准形为 $\operatorname{diag}(3,0,0)$，B的Jordan标准形为 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。两者不同，因此A与B不相似。
提示：相似矩阵有相同的Jordan标准形，反之亦然。
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