哈尔滨工程大学 2024年高等代数第12题
📝 题目
12．记 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{4}$ 为所有次数小于 4 的实系数一元多项式及零多项式构成的线性空间．$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的导数，定义 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{4}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}: \forall f(x) \in \mathbb{R}[x]_{4}, \mathscr{T}(f(x))=f(x)-f(0)+f^{\prime}(x)$ ．
（1）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=1, \varepsilon_{2}=x, \varepsilon_{3}=x^{2}, \varepsilon_{4}=x^{3}$ 下的矩阵 $A$ 。
（2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的特征值和线性无关的特性向量．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：应用线性变换到基向量
对每个基向量 $\varepsilon_1=1, \varepsilon_2=x, \varepsilon_3=x^2, \varepsilon_4=x^3$ 应用变换 $\mathscr{T}(f(x))=f(x)-f(0)+f'(x)$：
- $\mathscr{T}(1)=1-1+0=0$；
- $\mathscr{T}(x)=x-0+1=1+x$；
- $\mathscr{T}(x^2)=x^2-0+2x=2x+x^2$；
- $\mathscr{T}(x^3)=x^3-0+3x^2=3x^2+x^3$。
公式：\mathscr{T}(f(x))=f(x)-f(0)+f'(x)
提示：注意 $f(0)$ 是常数，$f'(x)$ 是导数。
步骤 2/6
目标：将结果用基表示并构造矩阵
将每个像用基 $\{1,x,x^2,x^3\}$ 线性表示，系数构成矩阵的列：
- $\mathscr{T}(1)=0\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3$ → 第一列 $(0,0,0,0)^T$；
- $\mathscr{T}(x)=1\cdot1+1\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3$ → 第二列 $(1,1,0,0)^T$；
- $\mathscr{T}(x^2)=0\cdot1+2\cdot x+1\cdot x^2+0\cdot x^3$ → 第三列 $(0,2,1,0)^T$；
- $\mathscr{T}(x^3)=0\cdot1+0\cdot x+3\cdot x^2+1\cdot x^3$ → 第四列 $(0,0,3,1)^T$。
因此矩阵 $A=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&1&2&0\\0&0&1&3\\0&0&0&1\end{pmatrix}$。
公式：A = (a_{ij}) 其中 \mathscr{T}(\varepsilon_j)=\sum_i a_{ij}\varepsilon_i
提示：注意矩阵的列对应基向量的像的坐标。
步骤 3/6
目标：求特征值
矩阵 $A$ 是上三角矩阵，特征值即对角线元素：$\lambda_1=0$（代数重数1），$\lambda_2=1$（代数重数3）。
公式：\det(A-\lambda I)=0
提示：上三角矩阵的特征值直接读对角线。
步骤 4/6
目标：求特征值0的特征向量
解 $(A-0I)\mathbf{x}=0$，即 $A\mathbf{x}=0$：
$$\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&1&2&0\\0&0&1&3\\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=0.$$
得 $x_2=0$，$x_2+2x_3=0\Rightarrow x_3=0$，$x_3+3x_4=0\Rightarrow x_4=0$，$x_1$ 自由。基础解系：$(1,0,0,0)^T$，对应多项式 $f(x)=1$。
公式：(A-\lambda I)\mathbf{x}=0
提示：自由变量 $x_1$ 取非零值得到特征向量。
步骤 5/6
目标：求特征值1的特征向量
解 $(A-I)\mathbf{x}=0$：
$$A-I=\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$
方程组：
$$\begin{cases}-x_1+x_2=0\\2x_3=0\\3x_4=0\end{cases}$$
得 $x_3=0$，$x_4=0$，$x_1=x_2$，$x_1$ 自由。基础解系：$(1,1,0,0)^T$，对应多项式 $f(x)=1+x$。
公式：(A-\lambda I)\mathbf{x}=0
提示：注意 $\lambda=1$ 的几何重数为1，小于代数重数3，因此只有1个线性无关的特征向量。
步骤 6/6
目标：总结特征值和特征向量
特征值 $\lambda=0$ 的特征向量：$f(x)=c\cdot1$（$c\neq0$）；特征值 $\lambda=1$ 的特征向量：$f(x)=c(1+x)$（$c\neq0$）。
提示：特征向量不能为零向量。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。