哈尔滨工程大学 2024年高等代数第14题
📝 题目
14．设 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=A+B$ ．
（1）求证：$\displaystyle A B=B A$ ．
（2）求证：若存在正整数 $k$ 使得 $\displaystyle A^{k}=O$ ，则 $\displaystyle |B+2024 A|=|B|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：由已知等式推导出逆矩阵关系
由 $AB = A + B$ 得 $AB - A - B = O$，即 $(A - I)(B - I) = I$，其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
公式：$(A - I)(B - I) = I$
提示：注意移项时符号变化，$AB - A - B = O$ 可化为 $(A - I)(B - I) = I$，因为 $(A - I)(B - I) = AB - A - B + I$。
步骤 2/7
目标：利用互逆矩阵交换性证明AB=BA
由 $(A - I)(B - I) = I$ 知 $A - I$ 与 $B - I$ 互逆，从而 $(B - I)(A - I) = I$，即 $BA - A - B + I = I$，所以 $BA = A + B = AB$，故 $AB = BA$。
公式：$(B - I)(A - I) = I$
提示：互逆矩阵的乘积顺序可交换，但需注意展开时各项符号。
步骤 3/7
目标：将B用A表示并利用交换性
由 $AB = A + B$ 得 $B = A(B - I)$，且由(1)知 $A$ 与 $B$ 可交换。
公式：$B = A(B - I)$
提示：注意 $B$ 的表达式不唯一，但交换性在后续同时三角化中关键。
步骤 4/7
目标：分析A的幂零性质
由 $A^k = O$ 知 $A$ 是幂零矩阵，其特征值全为0。
提示：幂零矩阵的特征值全为0，但反之不真（若尔当块）。
步骤 5/7
目标：同时上三角化A和B
由于 $A$ 与 $B$ 可交换，且 $A$ 是幂零矩阵，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = J$ 为上三角矩阵（对角线全0），$P^{-1}BP = T$ 为上三角矩阵。
提示：可交换矩阵可以同时上三角化，但需注意 $A$ 幂零保证 $J$ 对角线为0。
步骤 6/7
目标：计算B+2024A的行列式
则 $P^{-1}(B + 2024A)P = T + 2024J$ 仍为上三角，且其对角线元素等于 $T$ 的对角线元素（因为 $J$ 对角线为0）。因此 $|B + 2024A| = |T + 2024J| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$，其中 $\lambda_i$ 是 $T$ 的对角线元素，即 $B$ 的特征值。
公式：$|B + 2024A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$
提示：上三角矩阵的行列式等于对角线元素乘积，注意 $J$ 对角线为0不影响。
步骤 7/7
目标：比较行列式得出结论
而 $|B| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$，故 $|B + 2024A| = |B|$。
提示：注意 $B$ 的特征值可能为0，但等式仍成立。
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