哈尔滨工程大学 2024年高等代数第9题
📝 题目
9．设向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关，且 $\displaystyle \beta_{k}=\sum_{i=1}^{n} c_{k i} \alpha_{i}(k=1,2, \cdots, n)$ ，令 $\displaystyle C=\left(c_{i j}\right)_{n \times n}$ ，求证：向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 线性无关的充要条件是 $\displaystyle |C| \neq 0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题意与设定符号
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 线性无关，且 $\beta_k = \sum_{i=1}^n c_{ki} \alpha_i$，$k=1,2,\dots,n$。令 $C = (c_{ij})_{n \times n}$。需要证明 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$ 线性无关的充要条件是 $|C| \neq 0$。
提示：注意 $\beta_k$ 的表达式中的求和指标 $i$ 是从1到n，系数矩阵 $C$ 的行对应 $k$，列对应 $i$。
步骤 2/4
目标：必要性证明：假设 $|C|=0$ 推出矛盾
假设 $|C|=0$，则齐次线性方程组 $C^T x = 0$ 有非零解，即存在不全为零的数 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 使得 $\sum_{k=1}^n c_{ki} x_k = 0$ 对 $i=1,\dots,n$ 成立。于是构造线性组合：$\sum_{k=1}^n x_k \beta_k = \sum_{k=1}^n x_k \sum_{i=1}^n c_{ki} \alpha_i = \sum_{i=1}^n \left( \sum_{k=1}^n c_{ki} x_k \right) \alpha_i = 0$。由于 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 线性无关，故 $x_1 = \dots = x_n = 0$，矛盾。因此 $|C| \neq 0$。
公式：$C^T x = 0$ 有非零解 $\Leftrightarrow$ $|C|=0$
提示：注意 $C^T$ 的列对应 $\alpha_i$ 的系数，不要混淆行和列。
步骤 3/4
目标：充分性证明：假设 $|C| \neq 0$ 推出线性无关
设 $\sum_{k=1}^n x_k \beta_k = 0$，则 $\sum_{k=1}^n x_k \sum_{i=1}^n c_{ki} \alpha_i = \sum_{i=1}^n \left( \sum_{k=1}^n c_{ki} x_k \right) \alpha_i = 0$。由 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 线性无关得 $\sum_{k=1}^n c_{ki} x_k = 0$ 对 $i=1,\dots,n$ 成立，即 $C^T x = 0$。由于 $|C| \neq 0$，故 $C^T$ 可逆，从而 $x = 0$。因此 $\beta_1, \dots, \beta_n$ 线性无关。
公式：$C^T x = 0$ 只有零解 $\Leftrightarrow$ $|C| \neq 0$
提示：注意 $C^T$ 可逆等价于 $|C| \neq 0$，因为行列式转置不变。
步骤 4/4
目标：总结充要条件
由必要性：若 $\beta_1, \dots, \beta_n$ 线性无关，则 $|C| \neq 0$；由充分性：若 $|C| \neq 0$，则 $\beta_1, \dots, \beta_n$ 线性无关。因此，向量组 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$ 线性无关的充要条件是 $|C| \neq 0$。
提示：充要条件证明需分两步，缺一不可。
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