哈尔滨工程大学 2025年高等代数第1题
📝 题目
1．已知 $\displaystyle \mathbb{R}[x]$ 中多项式
$$
f(x)=x^{4}+2 x^{3}-x^{2}-4 x-2, g(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}-2 x-2 .
$$
则 $\displaystyle (f(x), g(x))=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算 f(x) 除以 g(x) 的余式
设 $f(x)=x^4+2x^3-x^2-4x-2$, $g(x)=x^4+x^3-x^2-2x-2$。做多项式除法：$f(x)-g(x)=x^3-2x$，所以 $f(x)=g(x)\cdot 1 + (x^3-2x)$，余式 $r_1(x)=x^3-2x$。
提示：注意多项式减法时各项系数要对应相减，避免符号错误。
步骤 2/4
目标：用 g(x) 除以 r_1(x) 求余式
用 $g(x)$ 除以 $r_1(x)=x^3-2x$。先商 $x$：$x\cdot r_1(x)=x^4-2x^2$，相减得 $x^3+x^2-2x-2$；再商 $1$：$1\cdot r_1(x)=x^3-2x$，相减得 $x^2-2$。所以 $g(x)=(x+1)r_1(x)+(x^2-2)$，余式 $r_2(x)=x^2-2$。
提示：多项式除法中，每次商取被除式最高次项除以除式最高次项，注意对齐同类项。
步骤 3/4
目标：用 r_1(x) 除以 r_2(x) 求余式
用 $r_1(x)=x^3-2x$ 除以 $r_2(x)=x^2-2$。因式分解：$r_1(x)=x(x^2-2)=x\cdot r_2(x)$，余式为 $0$。
提示：注意提取公因式时，要确保因式分解正确。
步骤 4/4
目标：确定最大公因式
辗转相除法中，最后一个非零余式即为最大公因式。这里 $r_2(x)=x^2-2$ 是最后一个非零余式，所以 $(f(x),g(x))=x^2-2$。
提示：最大公因式通常取首项系数为1，这里 $x^2-2$ 已是首一多项式。
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