📝 哈尔滨工程大学 2025年高等代数真题

1．已知 $\displaystyle \mathbb{R}[x]$ 中多项式

$$
f(x)=x^{4}+2 x^{3}-x^{2}-4 x-2, g(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}-2 x-2 .
$$

则 $\displaystyle (f(x), g(x))=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

2．已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A X A=B$ ，则 $\displaystyle X=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

3．令 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上由矩阵 $A$ 的全体实系数多项式组成的线性空间，其中

$$
A=\left(\begin{array}{lll}
1 & & \\
& \omega & \\
& & \omega^{2}
\end{array}\right), w=\frac{-1+\sqrt{3} \mathrm{i}}{2}, \text { 且 } \mathrm{i}^{2}=-1 .
$$

则 $V$ 的维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

4．已知矩阵 $A$ 的初等因子为 $\displaystyle \lambda, \lambda^{2},(\lambda+1)^{3}, \lambda-1, \lambda-1$ ，则矩阵 $A$ 的最小多项式是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

5．已知 3 维欧氏空间中，内积在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的度量矩阵为

$$
\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 3
\end{array}\right)
$$

若 $\displaystyle \beta_{1}=2 \alpha_{2}-\alpha_{3}$ 与 $\displaystyle \beta_{2}=t \alpha_{1}-3 \alpha_{2}+\alpha_{3}$ 正交，则 $\displaystyle t=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．设 $p$ 奇素数，判别多项式 $\displaystyle f(x)=x^{p}+p x+1$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上是否可约．

7．证明 $n$ 阶行列式

$$
\left|\begin{array}{cccccc}
\cos \alpha & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 2 \cos \alpha & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \cos \alpha & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2 \cos \alpha & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 \cos \alpha
\end{array}\right|=\cos n \alpha .
$$

8．讨论参数 $\displaystyle \lambda, \mu$ 取什么值时，线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=\lambda \\
x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=3 \\
5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=\mu
\end{array}\right.
$$

有解？并求解．

9．设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明：
（1）$\displaystyle r(A)+r\left(E_{n}-A\right)=n$ ．
（2）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle A=P\left(\begin{array}{cc}E_{r} & O \\ O & O\end{array}\right) P^{-1}$ ，其中 $\displaystyle r(A)=r$ ．

10．已知向量组

$$
\alpha_{1}=(2,0,1,3,-1)^{T}, \alpha_{2}=(0,-2,1,5,-3)^{T}, \beta_{1}=(1,1,0,-1,1)^{T}, \beta_{2}=(1,-3,2,0,5)^{T} .
$$

记 $\displaystyle W_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right), W_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，求 $\displaystyle W_{1}+W_{2}$ 与 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的维数与基．

11．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 5 & -2 \\ -2 & -2 & 1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的若尔当标准形 $J$ ，并求可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle A=T J T^{-1}$ 。

12．二次型

$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X
$$

在正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 下的标准形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，其中 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}, Y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ ，且正交矩阵 $Q$ 的第三列为 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{T}$ ，求实对称矩阵 $A$ ，并证明 $\displaystyle A+E_{3}$ 正定。

13．取 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的一组基，定义线性变换

$$
\sigma(X)=\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right) X, X \in \mathbb{R}^{2 \times 2}
$$

（1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。
（2）证明：当 $\displaystyle a d-b c \neq 0$ 时，$\displaystyle \sigma$ 可逆．
（3）当 $\displaystyle \sigma$ 可逆时，求 $\displaystyle \sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。

14．设 $V$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$V$ 上线性变换 $\displaystyle \tau$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda & & & \\
1 & \lambda & & \\
& \ddots & \ddots & \\
& & 1 & \lambda
\end{array}\right)
$$

证明：对任意非零的 $\displaystyle \tau$－子空间 $W$ ，有 $\displaystyle \varepsilon_{n} \in W$ ．