哈尔滨工程大学 2025年高等代数第8题
📝 题目
8．讨论参数 $\displaystyle \lambda, \mu$ 取什么值时，线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=\lambda \\
x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=3 \\
5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=\mu
\end{array}\right.
$$
有解？并求解．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出增广矩阵
将线性方程组写成增广矩阵形式：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 2 & 1 & 1 & -3 & \lambda \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
5 & 4 & 3 & 3 & -1 & \mu
\end{pmatrix}
$$
提示：注意增广矩阵最后一列是常数项，不要混淆。
步骤 2/7
目标：初等行变换消去第一列
进行初等行变换：
$R_2 - 3R_1$，$R_4 - 5R_1$，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -6 & \lambda-3 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -6 & \mu-5
\end{pmatrix}
$$
提示：注意第二行和第四行变换后的常数项计算正确。
步骤 3/7
目标：消去第二列
进行行变换：$R_3 + R_2$，$R_4 - R_2$，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -6 & \lambda-3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu-\lambda-2
\end{pmatrix}
$$
提示：注意第三行和第四行结果中前五列全为零，常数项分别为λ和μ-λ-2。
步骤 4/7
目标：判断有解条件
方程组有解当且仅当最后两行对应的方程成立，即：
$$
\lambda = 0 \quad \text{且} \quad \mu - \lambda - 2 = 0
$$
解得：
$$
\lambda = 0, \quad \mu = 2
$$
提示：注意：当λ=0时，第三行变为0=0，第四行变为μ-2=0，所以μ=2。
步骤 5/7
目标：代入参数并化简
当$\lambda=0,\mu=2$时，增广矩阵化为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -6 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
将第二行乘以$-1$：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
第一行减去第二行：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -5 & -2 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
提示：注意行变换的顺序，确保得到行最简形。
步骤 6/7
目标：写出等价方程组
对应方程组为：
$$
\begin{cases}
x_1 - x_3 - x_4 - 5x_5 = -2 \\
x_2 + 2x_3 + 2x_4 + 6x_5 = 3
\end{cases}
$$
提示：注意自由变量为$x_3,x_4,x_5$。
步骤 7/7
目标：求解并写出通解
令自由变量$x_3=c_1$，$x_4=c_2$，$x_5=c_3$，则：
$$
\begin{cases}
x_1 = -2 + c_1 + c_2 + 5c_3 \\
x_2 = 3 - 2c_1 - 2c_2 - 6c_3 \\
x_3 = c_1 \\
x_4 = c_2 \\
x_5 = c_3
\end{cases}
$$
其中$c_1,c_2,c_3$为任意常数。
通解向量形式：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-2 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix}
5 \\ -6 \\ 0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
$$
提示：注意特解和基础解系的正确性，自由变量个数为3。
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