哈尔滨工程大学 2025年高等代数第9题
📝 题目
9．设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明：
（1）$\displaystyle r(A)+r\left(E_{n}-A\right)=n$ ．
（2）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle A=P\left(\begin{array}{cc}E_{r} & O \\ O & O\end{array}\right) P^{-1}$ ，其中 $\displaystyle r(A)=r$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用条件推导矩阵乘积为零
由 $A^2 = A$ 可得 $A(E_n - A) = A - A^2 = O$，所以 $A$ 与 $E_n - A$ 的乘积为零矩阵。
公式：A(E_n - A) = O
提示：注意 $E_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵，不要遗漏下标。
步骤 2/7
目标：应用秩不等式得到上界
对于任意两个矩阵 $A$ 和 $B$，若 $AB = O$，则 $r(A) + r(B) \leq n$。这里 $B = E_n - A$，因此 $r(A) + r(E_n - A) \leq n$。
公式：r(A) + r(B) \leq n \quad (\text{当 } AB = O)
提示：该不等式源于线性方程组解空间的维数关系，注意 $A$ 和 $B$ 的列数均为 $n$。
步骤 3/7
目标：应用秩不等式得到下界
由 $r(A) + r(B) \geq r(A + B)$，取 $B = E_n - A$，则 $A + B = E_n$，所以 $r(A) + r(E_n - A) \geq r(E_n) = n$。
公式：r(A) + r(B) \geq r(A + B)
提示：该不等式对任意同型矩阵成立，注意 $A+B$ 的秩可能小于 $r(A)+r(B)$。
步骤 4/7
目标：综合上下界得到等式
由 $r(A) + r(E_n - A) \leq n$ 和 $r(A) + r(E_n - A) \geq n$，可得 $r(A) + r(E_n - A) = n$。
提示：注意等号成立的条件是上下界同时取等，这里恰好成立。
步骤 5/7
目标：分析幂等矩阵的特征值
由 $A^2 = A$ 知 $A$ 是幂等矩阵。设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $x$，则 $Ax = \lambda x$，代入 $A^2 x = A x$ 得 $\lambda^2 x = \lambda x$，即 $(\lambda^2 - \lambda)x = 0$，由于 $x \neq 0$，故 $\lambda^2 - \lambda = 0$，解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 1$。
公式：\lambda^2 - \lambda = 0
提示：注意特征向量非零，否则不能直接约去。
步骤 6/7
目标：确定特征值的重数
设 $r(A) = r$，则 $A$ 的秩等于非零特征值的个数（考虑代数重数），由于特征值只有 $0$ 和 $1$，且 $1$ 的代数重数等于几何重数（幂等矩阵可对角化），所以 $A$ 有 $r$ 个特征值 $1$，$n-r$ 个特征值 $0$。
提示：幂等矩阵可对角化，且特征值 $1$ 的几何重数等于代数重数。
步骤 7/7
目标：构造可逆矩阵实现对角化
由于 $A$ 可对角化，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$，其中 $E_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵。因此 $A = P \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix} P^{-1}$。
公式：P^{-1}AP = \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}
提示：注意 $P$ 的列向量由 $A$ 的特征向量组成，对应特征值 $1$ 的 $r$ 个线性无关特征向量和特征值 $0$ 的 $n-r$ 个线性无关特征向量。
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