哈尔滨工程大学 2025年高等代数第4题
📝 题目
4．已知矩阵 $A$ 的初等因子为 $\displaystyle \lambda, \lambda^{2},(\lambda+1)^{3}, \lambda-1, \lambda-1$ ，则矩阵 $A$ 的最小多项式是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解初等因子的含义
初等因子是矩阵的Jordan标准形中各个Jordan块对应的特征多项式的因子，每个初等因子形如 $(\lambda - \lambda_i)^{k}$，其中 $\lambda_i$ 是特征值，$k$ 是Jordan块的阶数。题目给出的初等因子为：$\lambda$（即 $(\lambda-0)^1$）、$\lambda^2$（即 $(\lambda-0)^2$）、$(\lambda+1)^3$、$\lambda-1$、$\lambda-1$（即两个 $(\lambda-1)^1$）。
提示：注意 $\lambda$ 表示特征值0，$\lambda+1$ 表示特征值-1，$\lambda-1$ 表示特征值1。
步骤 2/6
目标：找出所有不同的一次因式
从初等因子中提取所有不同的一次因式：$\lambda$（对应特征值0）、$\lambda+1$（对应特征值-1）、$\lambda-1$（对应特征值1）。注意，虽然 $\lambda$ 出现了两次（一次幂和二次幂），但只算一个不同因式；$\lambda-1$ 出现了两次，也只算一个。
提示：不要重复计数相同的一次因式。
步骤 3/6
目标：确定每个一次因式的最高次幂
对于每个不同的一次因式，找出其在所有初等因子中的最高指数：
- 对于 $\lambda$：初等因子中有 $\lambda$（指数1）和 $\lambda^2$（指数2），最高指数为2。
- 对于 $\lambda+1$：只有 $(\lambda+1)^3$，指数为3。
- 对于 $\lambda-1$：有两个 $\lambda-1$（指数均为1），最高指数为1。
提示：最高次幂是指数最大的那个，不是所有指数的和。
步骤 4/6
目标：写出最小多项式的表达式
最小多项式是所有不同一次因式的最高次幂的乘积。因此，最小多项式为：$\lambda^2 (\lambda+1)^3 (\lambda-1)$。注意，$\lambda^2$ 即 $(\lambda-0)^2$，$\lambda-1$ 即 $(\lambda-1)^1$。
公式：最小多项式 = $\prod_{i} (\lambda - \lambda_i)^{m_i}$，其中 $\lambda_i$ 是不同特征值，$m_i$ 是对应初等因子的最高指数。
提示：不要忘记将 $\lambda$ 写成 $\lambda-0$ 的形式，但通常直接写 $\lambda$ 也可以。
步骤 5/6
目标：验证最小多项式的次数
最小多项式的次数为各指数之和：2+3+1=6。而矩阵的阶数等于所有初等因子的次数之和：1+2+3+1+1=8。最小多项式的次数小于等于矩阵的阶数，符合理论。
提示：最小多项式的次数不一定等于矩阵的阶数，但一定不超过阶数。
步骤 6/6
目标：写出最终答案
因此，矩阵 $A$ 的最小多项式为 $\lambda^2 (\lambda+1)^3 (\lambda-1)$。
提示：答案应写成因式乘积形式，不要展开。
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