哈尔滨工程大学 2025年高等代数第7题

设 $D_n$ 为 $n$ 阶行列式，按第一行展开： $$D_n = \cos\alpha \cdot D_{n-1} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 2\cos\alpha & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2\cos\alpha & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2\cos\alpha \end{vmatrix}_{(n-1)}$$

对第二个 $(n-1)$ 阶行列式按第一列展开，第一列只有第一个元素为1，其余为0，因此得到： $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 2\cos\alpha & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2\cos\alpha & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2\cos\alpha \end{vmatrix} = 1 \cdot D_{n-2}$$

代入得递推关系： $$D_n = \cos\alpha \cdot D_{n-1} - D_{n-2}$$

计算 $D_1$ 和 $D_2$： $$D_1 = \cos\alpha$$ $$D_2 = \begin{vmatrix} \cos\alpha & 1 \\ 1 & 2\cos\alpha \end{vmatrix} = 2\cos^2\alpha - 1 = \cos 2\alpha$$

余弦的倍角公式：$\cos n\alpha = 2\cos\alpha \cos((n-1)\alpha) - \cos((n-2)\alpha)$。但我们的递推是 $D_n = \cos\alpha D_{n-1} - D_{n-2}$，两者系数不同。实际上，若设 $D_n = \cos n\alpha$，则代入递推得 $\cos n\alpha = \cos\alpha \cos((n-1)\alpha) - \cos((n-2)\alpha)$，这不成立。因此需要调整递推。

实际上，对于 $n \ge 3$，原行列式按第一行展开时，第一个余子式 $M_{11}$ 是 $n-1$ 阶行列式，但其第一行第一列是 $2\cos\alpha$（因为原行列式去掉第一行第一列后，新行列式的第一行第一列是原第二行第二列的 $2\cos\alpha$），所以 $M_{11}$ 不是 $D_{n-1}$，而是另一个行列式。正确做法：设 $D_n$ 为 $n$ 阶行列式，其对角元除第一个为 $\cos\alpha$ 外，其余为 $2\cos\alpha$。按第一行展开得 $D_n = \cos\alpha \cdot D_{n-1} - D_{n-2}$，但 $D_{n-1}$ 是 $n-1$ 阶行列式，其对角元第一个为 $2\cos\alpha$，其余为 $2\cos\alpha$，即 $D_{n-1}$ 满足标准三对角递推。实际上，令 $E_n$ 为 $n$ 阶行列式，其所有对角元均为 $2\cos\alpha$，则 $E_n = 2\cos\alpha E_{n-1} - E_{n-2}$，且 $E_1 = 2\cos\alpha$，$E_2 = 4\cos^2\alpha - 1$。但 $D_n$ 与 $E_n$ 不同。

实际上，通过计算 $n=3$ 验证： $$D_3 = \begin{vmatrix} \cos\alpha & 1 & 0 \\ 1 & 2\cos\alpha & 1 \\ 0 & 1 & 2\cos\alpha \end{vmatrix} = \cos\alpha (4\cos^2\alpha - 1) - 2\cos\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha = \cos 3\alpha$$ 而 $2\cos\alpha D_2 - D_1 = 2\cos\alpha \cdot \cos 2\alpha - \cos\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha = \cos 3\alpha$。因此实际上 $D_n$ 满足 $D_n = 2\cos\alpha D_{n-1} - D_{n-2}$ 对于 $n \ge 3$，但 $D_2 = \cos 2\alpha$，$D_1 = \cos\alpha$。定义 $D_0 = 1$，则 $D_2 = 2\cos\alpha D_1 - D_0$ 成立。所以递推关系为 $D_n = 2\cos\alpha D_{n-1} - D_{n-2}$，$n \ge 2$，$D_0=1$，$D_1=\cos\alpha$。

由数学归纳法：假设 $D_{k} = \cos k\alpha$ 对 $k < n$ 成立，则 $$D_n = 2\cos\alpha \cdot D_{n-1} - D_{n-2} = 2\cos\alpha \cos((n-1)\alpha) - \cos((n-2)\alpha) = \cos n\alpha$$ 因此 $D_n = \cos n\alpha$ 对所有正整数 $n$ 成立。