哈尔滨工程大学 2025年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $p$ 奇素数，判别多项式 $\displaystyle f(x)=x^{p}+p x+1$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上是否可约．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：尝试直接应用Eisenstein判别法
考虑多项式 $f(x)=x^p+px+1$，其中 $p$ 是奇素数。直接观察系数：首项系数为1，常数项为1，其他项系数为0或$p$。但常数项1不被$p$整除，因此不能直接应用Eisenstein判别法。需要做变量替换。
提示：注意Eisenstein判别法要求存在素数整除所有非首项系数，且其平方不整除常数项。
步骤 2/6
目标：变量替换 $x = y-1$
令 $x = y-1$，代入 $f(x)$ 得 $f(y-1) = (y-1)^p + p(y-1) + 1$。
公式：x = y-1
提示：变量替换是常用技巧，目的是使常数项变为$p$的倍数。
步骤 3/6
目标：展开 $(y-1)^p$
利用二项式定理展开：$(y-1)^p = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} y^k (-1)^{p-k}$。由于$p$是奇素数，$(-1)^p = -1$，且$\binom{p}{p-1}=p$，$\binom{p}{1}=p$。因此 $(y-1)^p = y^p - p y^{p-1} + \cdots + p y - 1$，其中省略的项系数$\binom{p}{k}$（$2\le k\le p-2$）都是$p$的倍数。
公式：(y-1)^p = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} y^k (-1)^{p-k}
提示：注意$\binom{p}{k}$当$1\le k\le p-1$时被$p$整除，这是素数性质。
步骤 4/6
目标：化简 $f(y-1)$
代入展开式：$f(y-1) = [y^p - p y^{p-1} + \cdots + p y - 1] + p(y-1) + 1$。合并同类项：$y^p$项系数1，$y^{p-1}$项系数$-p$，中间项系数$\binom{p}{k}(-1)^{p-k}$（$2\le k\le p-2$），一次项系数：$p + p = 2p$，常数项：$-1 - p + 1 = -p$。因此 $f(y-1) = y^p - p y^{p-1} + \cdots + 2p y - p$。
提示：注意一次项系数是$2p$，常数项是$-p$，中间项系数都是$p$的倍数。
步骤 5/6
目标：应用Eisenstein判别法于 $f(y-1)$
取素数 $q=p$。检查系数：首项系数为1，其余系数：$y^{p-1}$项系数$-p$，中间项系数都是$p$的倍数，一次项系数$2p$，常数项$-p$。所有非首项系数都被$p$整除。常数项$-p$不被$p^2$整除（因为$p^2 \nmid p$）。因此由Eisenstein判别法，$f(y-1)$在$\mathbb{Q}$上不可约。
公式：Eisenstein判别法
提示：确保所有非首项系数都能被素数$p$整除，且常数项不被$p^2$整除。
步骤 6/6
目标：结论：$f(x)$在$\mathbb{Q}$上不可约
由于$f(y-1)$不可约，且变量替换$x=y-1$是可逆的线性变换（保持可约性），因此$f(x)$在$\mathbb{Q}$上也不可约。
提示：线性变换不改变多项式的可约性。
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